Ecuaciones de movimiento para un cuerpo rígido

Cuando se ejercen fuerzas externas sobre un sólido cuya resultante es $\bm{F}$, sabíamos que debe cumplirse

$$\frac{{\rm d}\bm{P}}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d}\,(M\bm{V})\rule{-2.2em}{0em}}{{\rm d}t}\rule{2em}{0em} = \bm{F} \;.$$

En nuestro contexto, esto puede deducirse al considerar que tenemos 6 coordenadas generalizadas asociadas a los 6 grados de libertad que mencionamos más arriba, que podemos representar en el vector posición del centro de masa $\bm{R}\,$ y 3 ángulos que definen la orientación del sólido, $\bm{\varphi}$. Las ecuaciones de Lagrange nos permiten relacionar la fuerza resultante sobre el sistema con la evolución de $\bm{R}$

$$\bm{F}=-\frac{\partial U}{\partial\bm{R}} \;, \qquad \frac{\parti... ...ial\bm{R}} \qquad\Rightarrow\qquad \frac{{\rm d}\bm{P}}{{\rm d}t} = \bm{F} \;.$$

Para analizar la evolución en relación a las rotaciones, referimos todo al centro de masa y recordamos que en nuestra notación $\Omega=\bm{\dot{\varphi}}$, y que nos restringimos a potenciales conservativos, independientes de las velocidades. Entonces, recordando que el tensor de inercia es simétrico (ejercicio),

$$\frac{\partial L}{\partial\,\Omega_j} \;{\color{gray}= \frac{\par... ...ad\Leftrightarrow\qquad \frac{\partial L}{\partial\,\bm{\Omega}} = \bm{J} \;.$$

Si consideramos una rotación infinitesimal (descripta desde el centro de masa) $\,\delta\bm{r}_i = \delta\bm{\varphi}\times\bm{r}_i\,$, y representamos con $\bm{f}_i\,$ a la fuerza ejercida sobre la masa $m_i\,$, debe cumplirse

$$\delta U = -\sum_i \bm{f}_i\cdot\delta\bm{r}_i = -\sum_i \bm{f}_... ... (e)} = - \bm{\uptau}^{\color{lightgray}\rm (e)} \cdot \delta\bm{\varphi} \;,$$

donde aparecen los torque externos $\bm{\uptau}_i^{\rm (e)}\,$ realizados por las fuerzas externas $\bm{f}_i\,$. Vemos entonces que el torque externo resultante $\bm{\uptau}^{\color{lightgray}\rm (e)}\,$ se deriva del potencial mediante la relación

$$\bm{\uptau}^{\color{lightgray}\rm (e)} = -\frac{\partial U}{\partial\bm{\varphi}} = \frac{\partial L}{\partial\bm{\varphi}} \;,$$

de manera que las ecuaciones de Lagrange asociadas a $\bm{\varphi}\,$ implican

$$\frac{{\rm d}~}{{\rm d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\bm{\Ome... ...d \frac{{\rm d}\bm{J}}{{\rm d}t} = \bm{\uptau}^{\color{lightgray}\rm (e)} \;,$$

que reproduce ese añorado resultado que conocíamos del formalismo newtoniano.