Ecuaciones de Euler

Cuando un vector cualquiera $\bm{A}\,$ no cambia respecto de un sistema que gira con velocidad $\bm{\Omega}\,$, desde el referencial del laboratorio vemos que su evolución con el tiempo está dada por

$$\frac{{\rm d}\bm{A}}{{\rm d}t} = \bm{\Omega}\times\bm{A} \;.$$

Cuando además hay variaciones temporales ${\rm d}'\!\bm{A}/{\rm d}t\,$ respecto del sistema rotante, desde el laboratorio debemos completar la descripción agregando ese término

$$\frac{{\rm d}\bm{A}}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d}'\!\bm{A}}{{\rm d}t} + \bm{\Omega}\times\bm{A} \;.$$ (31)

Las ecuaciones de movimiento entonces pueden escribirse conectando el sistema rotante con el del laboratorio

$$\frac{{\rm d}'\!\bm{P}}{{\rm d}t} + \bm{\Omega}\times\bm{P} = \bm... ... \frac{{\rm d}'\!\bm{J}}{{\rm d}t} + \bm{\Omega}\times\bm{J} = \bm{\uptau} \;.$$

Para descomponer estos vectores según $x_1\,$, $x_2\,$ y $x_3\,$, utilizamos la notación

$$\left(\frac{{\rm d}'\!\bm{P}}{{\rm d}t}\right)_{\!k} = \frac{{\rm... ...frac{{\rm d}'\!\bm{J}}{{\rm d}t}\right)_{\!k} = \frac{{\rm d}J_k}{{\rm d}t} \;,$$   etc.,

y recordando que $\bm{P}=M\bm{V}\,$ y $\bm{J}={\sf I}\,\bm{\Omega}\,$, arribamos a las ecuaciones de Euler

$$\left\{ \begin{array}{c} M\left( \displaystyle\frac{{\rm d}V_1}{... ...Omega_1\,V_2 - \Omega_2\,V_1 \right) = F_3 \rule{0em}{2em} \end{array} \right.$$   y$$\qquad \left\{ \begin{array}{c} I_1 \displaystyle\frac{{\rm d}\... ...(I_2-I_1)\,\Omega_1\,\Omega_2 = \uptau_3 \rule{0em}{2em} \end{array} \right.$$

Como ilustración, recurramos a estas ecuaciones para retomar el caso del trompo simétrico que realiza una rotación libre, donde $\bm{\uptau}=0$ (además de $\bm{F}=0$). La última ecuación de la derecha nos indica que, como $I_1=I_2$, $\dot{\Omega}_3=0$, es decir, $\Omega_3$ debe mantenerse constante. Por otro lado, si reescribimos las primeras en términos de $\omega\equiv(I_3/I_1-1)\Omega_3\,$, obtenemos las ecuaciones equivalentes (ejercicio)

$$\dot{\Omega}_1 = -\omega\,\Omega_2 \;, \qquad\qquad \dot{\Omega}_2 = -\omega\,\Omega_1 \;.$$

Estas pueden condensarse como (ejercicio)

$$\frac{{\rm d}~}{{\rm d}t}(\Omega_1+i\,\Omega_2) = i\,\omega\,(\Om... ...,\Omega_2) \qquad \Rightarrow \qquad \Omega_1+i\,\Omega_2 = A\,e^{i\omega t}$$

donde la constante $A\,$ puede tomarse real si elegimos adecuadamente las condiciones iniciales para el movimiento; entonces

$$\Omega_1 = A\,\cos(\omega t) \;, \qquad\qquad \Omega_2 = A\,\operatorname{sen}(\omega t) \;.$$

Vemos así que la proyección de $\bm{\Omega}$ sobre el plano normal al eje del trompo $x_3\,$ rota con velocidad angular $\omega\,$, con un módulo $A=\sqrt{\Omega_1^2+\Omega_2^2}$ constante. Como también mostramos que la proyección $\Omega_3\,$ se mantiene constante, concluimos que el vector $\bm{\Omega}$ gira alrededor de $x_3\,$ con velocidad angular $\omega$, manteniendo su magnitud constante, tal como habíamos deducido en §6.2. Por otro lado, como $J_\ell=I_\ell\,\Omega_\ell\,$, aunque el vector $\bm{J}$ no es paralelo a $\bm{\Omega}$, también gira alrededor de $x_3\,$ con velocidad angular $\omega$. Finalmente, queda como ejercicio comprobar que $\omega=-\dot{\psi}\,$.