El oscilador armónico simple

De los cursos básicos sabemos resolver el problema unidimensional correspondiente al potencial armónico

$$V(x) = \frac{1}{2}k\,x^2 \qquad (k>0) \;,$$

como es el caso de una partícula sometida a un resorte de constante $k$, donde la posición se representa mediante la coordenada $x$ asociada al estiramiento del resorte. Si bien sabemos resolver el problema utilizando la mecánica newtoniana, al realizar la descripción mediante el formalismo lagrangiano llegamos a la misma ecuación de movimiento; en efecto, a partir de la lagrangiana

$$L = \frac{1}{2}m\,\dot{x}^2 - \frac{1}{2}k\,x^2$$

obtenemos

$$\frac{{\rm d}~}{{\rm d}t}\left(\frac{\partial L}{{\rm d}\dot{x}}\... ...d \ddot{x} + \omega^2 x = 0 \qquad \left(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\right) \;.$$

La solución general de esta ecuación diferencial de 2^o grado puede escribirse

$$x(t) = a \cos(\omega t + \alpha) \;,$$

donde la amplitud $a\,$ y la fase $\alpha\,$ son constantes reales, y quedan determinadas por las condiciones iniciales. Esta solución es equivalente a elegir dos soluciones independientes, $\operatorname{sen}(\omega t)$ y $\cos(\omega t)$, y combinarlas como solución general $c_1\cos(\omega t)+c_2\operatorname{sen}(\omega t)$ utilizando constantes reales $c_1$ y $c_2$. También podemos escoger la representación compleja, en cuyo caso la solución general se escribe

$$x(t) = \operatorname{Re}\left[ z\,e^{i\omega t} \right] \;,$$

de manera que la amplitud $z=a\,e^{i\alpha t}$ es una constante compleja, es decir guarda información sobre las dos constantes reales de más arriba.