Varios grados de libertad

Mediante un tratamiento análogo al caso unidimensional, podemos plantear para el caso general de un sistema conservativo con $n$ grados de libertad

$$L = \frac{1}{2}\sum_{k,\ell=1}^n M_{k\ell}\, \dot{q}_k\, \dot{q}_\ell - V(q_1,...\,,q_n) \;,$$

donde definimos

$$M_{k\ell} = \sum_i m_i \frac{\partial\bm{r}_i}{\partial q_k}\cdot \frac{\partial\bm{r}_i}{\partial q_\ell} = M_{\ell k} \;.$$

Estamos interesados en potenciales para los que valga una aproximación cuadrática, es decir, con algún mínimo local que representará una posición de equilibrio estable $q^{(0)}=\left(q_1^{(0)},...\,q_n^{(0)}\right)$, de manera que se cumple

$$\left( \frac{\partial V}{\partial q_k} \right)_{\!q^{(0)}}\! = 0 ... ...partial q_\ell}\right)_{q^{(0)}}=V_{k\ell}\!\neq 0 \;, \qquad k=1,...\,,n \;.$$

Alrededor del punto de equilibrio elegiremos los apartamientos (pequeños) $\,\eta_k\equiv q_k-q^{(0)}_k$ como coordenadas generalizadas para escribir la expansión

$$V(q_1,...\,,q_n) = V\big(q^{(0)}\big) {\,\color{lightgray}+\sum_... ...^{(0)}}\!\eta_k} + \frac{1}{2} \sum_{k,\ell} V_{k\ell}\;\eta_k\,\eta_\ell \;.$$

La condición de equilibrio estable se garantiza si

$$\sum_{k,\ell} V_{k\ell}\;\eta_k\,\eta_\ell > 0 \qquad \forall\;(\eta_1,...\,,\eta_n)\neq(0,...\,,0) \;.$$ (21)

Entonces, tomando $V\big(q^{(0)}\big)=0\,$ y teniendo presente que $\dot{\eta}_k=\dot{q}_k\,$, podemos escribir

$$L = \frac{1}{2}\sum_{k,\ell=1}^n M_{k\ell}\,\dot{\eta}_k\,\dot{\eta}_\ell - \frac{1}{2}\sum_{k,\ell} V_{k\ell}\,\eta_k\,\eta_\ell \;.$$

Esta lagrangiana es una función homogénea de 2^o grado en $\dot{\eta}_k$ y en $\eta_k\,$, y conviene notar que tanto $M_{k\ell}$ como $V_{k\ell}\,$ son simétricas, estando ambas evaluadas en las posiciones de equilibrio $\,q^{(0)}\!\leftrightarrow\eta^{(0)}=0\,$. Las derivadas de esta expresión se pueden construir de manera directa (ejercicio)

$$\frac{\partial L}{\partial\dot{\eta}_j} = \frac{1}{2}\left[ \sum... ..._\ell + \sum_k M_{kj}\,\dot{\eta}_k \right] = \sum_k M_{jk}\,\dot{\eta}_k \;,$$

y análogamente

$$-\frac{\partial L}{\partial\eta_j} = \sum_{k} V_{jk}\,\eta_k \;.$$

Con estas expresiones las ecuaciones de movimiento resultan

$$\sum_k \left( M_{jk}\,\ddot{\eta}_k + V_{jk}\,\eta_k \right) = 0 \qquad j=1,...\,,n \;,$$

y constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas: buscamos soluciones

$$\eta_j^{_o}(t) = \operatorname{Re}\left[z_j^{_o}\, e^{i\omega t}\right] \;,$$

es decir oscilaciones colectivas con una única frecuencia $\omega\,$: ¿existirán soluciones así? Al sustituir en las ecuaciones de movimiento obtenemos (ejercicio)

$$\sum_k \left( V_{jk} - \omega^2\,M_{jk} \right)z_k^{_o} = 0 \;,$$ (22)

y estos elementos pueden pensarse como componentes de vectores columna $\,\bm{\eta}^{_o}\,$ y $\,\bm{z}^{_o}$, de modo que en notación matricial

$$\big( {\sf V} - \omega^2 {\sf M} \big) \, \bm{z}^{_o} = 0 \;.$$ (23)

Tenemos entonces un problema de autovalores, para el cual exigimos soluciones $\,\bm{z}^{_o}$ no triviales imponiendo

$$\big\vert {\sf V} - \omega^2 {\sf M} \big\vert = \det\left( \... ...\cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{array} \right) = 0 \;.$$ (24)

De aquí surge una ecuación característica de grado $n$ para las posibles frecuencias; esta tendrá $n$ raíces positivas $\omega_\ell^2$ —pueden ser diferentes—, correspondientes a las frecuencias propias $\omega_\ell$ del sistema ( $\ell=1,...\,,n$). Concluimos entonces que sí son posibles las oscilaciones colectivas con una única frecuencia. Cada frecuencia propia tiene asociado un autovector $\,\bm{\zeta}^{(\ell)}$ (real), y cada solución

$$\bm{\eta}^{(\ell)}(t)=\color[rgb]{.45,.7,.45}\operatorname{Re}\left[{\color{black}\bm{\zeta}^{(\ell)}e^{i\omega_\ell t}}\right]\;,$$

constituye un “modo normal” de oscilación; como las matrices son simétricas, siempre podemos elegir estos autovectores linealmente independientes. Una solución general del problema puede contener diferentes modos normales, según cuáles sean las condiciones iniciales; si utilizamos coeficientes complejos $\,A_\ell=C_\ell\,e^{i\phi_\ell}\,$ ( $C_\ell, \phi_\ell\,\in\mathbb{R}$) la solución general se expresa

$$\bm{\xi}(t) = \sum_{\ell=1}^n A_\ell\,\bm{\zeta}^{(\ell)}\,e^{i\omega_\ell t} \,.$$ (25)

Para no distraernos con esa preocupación, detengámonos a demostrar que los autovalores $\omega^2$ originados en la ecuación característica son efectivamente positivos. Para ello multipliquemos (22) por el complejo conjugado de $z_j$ y sumemos sobre $j$

$$\sum_{j,k} \left( V_{jk} - \omega^2\,M_{jk} \right)z_k\,\bar{z}_j... ...frac{\sum_{j,k} V_{jk}\,z_k\,\bar{z}_j}{\sum_{j,k} M_{jk}\,z_k\,\bar{z}_j} \;.$$

El numerador de esta expresión pareciera tener componente imaginaria, pero notemos que si tomamos su complejo conjugado, y recordamos que la matriz real ${\sf V}$ es simétrica $(V_{jk}=V_{kj})$,

$$\overline{\sum_{j,k} V_{jk}\,z_k\,\bar{z}_j} = \sum_{j,k} V_{kj}\,\bar{z}_k\,z_j = \sum_{j,k} V_{jk}\,z_k\,\bar{z}_j \;,$$

lo que significa que el complejo conjugado del numerador es idéntico al numerador de la expresión anterior para $\omega^2$, es decir es real. Lo mismo ocurre con el denominador, pues los $M_{jk}$ conforman una matriz real y simétrica, de manera que en las expresiones anteriores estamos siempre trabajando con cantidades reales. Además, habíamos enfatizado en (21) que ${\sf V}$ es una matriz definida positiva, y lo mismo ocurre con ${\sf M}$ ($T$ es cuadrática en las $\bm{v}_i$), de manera que se cumple que $\omega^2>0$. Sin duda nos alivia saber que los valores de $\omega$ son reales, ya que, como dijimos, esperábamos soluciones oscilatorias.

Al resolver la diagonalización mencionada, lo que estamos haciendo equivale a un cambio de base, donde los nuevos elementos se comportan como osciladores desacoplados, ya que en esa representación solo intervendrán elementos diagonales en (23). Las nuevas “coordenadas normales” son entonces combinación lineal de las $\{\eta_j\}$ originales, y podemos pasar de una representación a la otra como si tal cosa : la componente $j$-ésima (parte real) de la solución general (25) se escribe entonces en términos de las componentes $j$-ésimas $\zeta^{(\ell)}_j\,$ de los autovectores $\bm{\zeta}^{(\ell)}$

$$\eta_j(t) = \sum_{\ell=1}^n C_\ell\;\zeta^{(\ell)}_j \cos(\omega_\ell\,t+\phi_\ell) \qquad j=1,...\,,n \,.$$

Las $2n$ constantes $C_\ell\,$ y $\phi_\ell$ quedan determinadas al conocer las condiciones iniciales para el sistema descripto.

Veamos el ejemplo ilustrado en la figura, donde 2 péndulos idénticos de masa $m$ y longitud $\ell$ están conectados mediante un resorte de constante $k$ y longitud natural $d_o$, igual a la separación de los puntos de suspensión de los péndulos. Para escribir la lagrangiana primero expresamos adecuadamente la energía cinética como $$T = \frac{m\,\ell^2}{2}\dot{\theta}_1^2 + \frac{m\,\ell^2}{2}\dot{\theta}_2^2 \approx \frac{m}{2}\dot{\eta}_1^2 + \frac{m}{2}\dot{\eta}_2^2 \;,$$ mientras que para la energía potencial tenemos

$$V = \frac{k}{2}\big[ (d_o+\eta_2-\eta_1)-d_o \big]^2 + mg\,\big[... ...prox \frac{k}{2} (\eta_2-\eta_1)^2 + \frac{mg}{2\ell} (\eta_1^2+\eta_2^2) \;,$$

donde hemos aproximado el estiramiento como si el resorte se mantuviera siempre en posición horizontal (puede mostrarse que descartamos correcciones mucho menores que las preservadas). Entonces, la lagrangiana para pequeñas oscilaciones

$$L = T-V = \frac{m}{2}\left( \dot{\eta}_1^2+\dot{\eta}_2^2 \right)... ...ac{1}{2}\left[ \frac{mg}{\ell}(\eta_1^2+\eta_2^2) + k(\eta_2-\eta_1)^2 \right]$$

nos permite obtener las matrices

$${\sf M} = \left( \begin{array}{cc} m & 0 \\ 0\rule{0em}{1.5em} & ... ...c{mg}{\ell}+k & -k \\ -k & \displaystyle\frac{mg}{\ell}+k \end{array} \right)$$

(¿por qué no falta un factor 2 en las diagonales?). Planteamos la ecuación característica para las frecuencias propias del sistema a partir de (24), y también los autovectores asociados (ejercicio)

$$\big\vert {\sf V} - \omega^2 {\sf M} \big\vert = \left(\frac{mg}{... ... \beta \\ \!\!-\beta \end{array}\right) \rule{0em}{2.5em} \end{array} \right.$$

Las constantes (reales) $\alpha$ y $\beta$ en principio son arbitrarias (¿por qué, quéloque significan?). De todas maneras, vemos que en el primer modo normal las dos masas se mueven en fase, de modo que el resorte mantiene siempre su longitud natural $d_o$ y no agrega fuerzas a las que rigen a cada uno de los péndulos, que se comportan como péndulos simples cuya frecuencia $\omega_1\!=\!\sqrt{g/\ell}\,$ podíamos anticipar. En el segundo modo normal, las masas evolucionan en oposición de fase con idéntica amplitud, en cuyo caso la fuerza restitutiva del resorte se agrega como si tuviera una constante $2k\,$: para cada apartamiento el estiramiento se duplica gracias a un apartamiento simétrico al otro extremo del resorte.

Pronto veremos que las constantes idénticas en los autovalores sugieren la elección de coordenadas normales

$$\xi_1 \propto \eta_1+\eta_2$$   y$$\qquad \xi_2 \propto \eta_1-\eta_2 \;,$$

de manera que tanto las expresiones para la energía cinética como para la potencial contienen términos en los que solo intervienen $\dot{\eta}_1,\eta_1\,$ o $\dot{\eta}_2,\eta_2\,$ por separado, es decir, osciladores desacoplados.