Coordenadas normales

Para encontrar una manera sistemática de hallar las coordenadas normales, es conveniente reescribir las ecuaciones anteriores en forma vectorial/matricial

$$L = \frac{1}{2}\sum_{k,\ell=1}^n M_{k\ell}\,\dot{\eta}_k\,\dot{\e... ...ta}}^T {\sf M}\, \bm{\dot{\eta}} - \frac{1}{2} \bm{\eta}^T {\sf V}\, \bm{\eta}$$   con$$\quad \bm{\eta} = \left(\! \begin{array}{c} \eta_1\\ \vdots\\ \eta_n \end{array} \!\right) \;.$$

Las ecuaciones de movimiento con esta notación se escriben

$$\sum_k \left( M_{jk}\,\ddot{\eta}_k + V_{jk}\,\eta_k \right) = 0 ... ...ad\leftrightarrow\qquad {\sf M}\,\bm{\ddot{\eta}} + {\sf V}\,\bm{\eta} = 0 \;,$$

de manera que este formalismo es equivalente al anterior. Las coordenadas normales que buscamos se corresponden con una transformación (o cambio de base) $\bm{\eta}={\sf A}\,\bm{\xi}\quad(\bm{\xi}^T{\sf A}^T\!=\!\bm{\eta}^T)$ que diagonalicen las ecuaciones de movimiento, de manera que tengamos osciladores desacoplados. Para ello notemos que si elegimos la matriz de transformación ${\sf A}$ de manera que su $\ell$-ésima columna sea el autovector $\,\bm{\zeta}^{(\ell)}\,$ encontrado

$$A_{k\ell}\equiv\zeta^{(\ell)}_k \,$$

y definimos el producto escalar entre dos vectores $\bm{\eta}$ y $\bm{\mu}$ arbitrarios como

$$(\bm{\eta},\bm{\mu}) = \bm{\eta}^T {\sf M}\,\bm{\mu} = \sum_{j,k} \eta_jM_{jk}\,\mu_k \;,$$ (26)

podemos escoger las $\,\bm{\zeta}^{(\ell)}\,$ para conformar una base ortonormalizada, es decir,

$$\delta_{\ell m} = \left(\bm{\zeta}^{(\ell)},\bm{\zeta}^{(m)}\righ... ...j,k} A_{j\ell}\,M_{jk}\,A_{km} = \left({\sf A}^T{\sf M\,A}\right)_{\ell m} \;.$$

Esta identidad muestra que en la nueva representación la matriz ${\sf M}'={\sf A}^T{\sf M\,A}$ resulta diagonal, ya que

$${\color{NavyBlue}\bm{\dot{\eta}}^T} {\sf M}\, \bm{\dot{\eta}} = ... ...t{\xi}} = \bm{\dot{\xi}}^T\,{\color[rgb]{.1,.4,.1}\sf M}'\; \bm{\dot{\xi}} \;.$$

Analicemos ahora qué ocurre con la matriz asociada al potencial cuando se aplica la transformación ${\sf A}$. Como se satisface

$$\sum_k \left( V_{jk} - \omega^2\,M_{jk} \right)\zeta_k^{(\ell)} = 0 \;,$$

la componente $j$-ésima de esta identidad cumple

$$\sum_k V_{jk}\,{\color{Orchid}\underbrace{\color{black}\zeta_k^{(... ...ghtarrow\qquad ({\sf V\,A})_{j\ell} = \omega_\ell^2\, ({\sf M\,A})_{j\ell} \;.$$

Nos interesan los elementos de ${\sf V}'={\sf A}^T{\sf V\,A}$

$$\left({\sf A}^T{\sf V\,A}\right)_{i\ell} = \sum_j A_{ji} ({\sf V\... ...2 \left({\sf A}^T{\sf M\,A}\right)_{i\ell} = \omega_\ell^2\,\delta_{i\ell} \;,$$

con lo cual esta matriz también es diagonal en la nueva representación. Entonces disponemos de la transformación ${\sf A}$ que diagonaliza nuestras ecuaciones y por lo tanto los osciladores resultan desacoplados cuando los describimos mediante las coordenadas normales $\{\xi_i\}$, que se obtienen mediante

$$\bm{\xi}={\sf A\!}^{-1}\bm{\eta} \qquad\leftrightarrow\qquad \bm{\eta}={\sf A}\,\bm{\xi} \;.$$

Vale la pena aclarar que en virtud del producto escalar adoptado, la transformación ${\sf A}$ en general no es unitaria.

Veamos esta construcción retomando el ejemplo de los dos péndulos unidos por un resorte, en el cual a matriz ${\sf M}$ ya es proporcional a la identidad $({\sf M}=m{\sf I})$. Para obtener las coordenadas normales, primero exigimos que los autovectores cumplan con la normalización $\left\Vert\bm{\zeta}^{(1,2)}\right\Vert^2=1$ impuesta por nuestro producto escalar (26), de modo que (ejercicio)

$$\bm{\zeta}^{(1)}=\frac{1}{\sqrt{2m}}\left(\!\begin{array}{c}1\\ 1... ...rac{1}{\sqrt{2m}}\left(\!\begin{array}{c} 1 \\ \!\!-1 \end{array}\!\right) \;.$$

Entonces resulta (otro ejercicio)

$${\sf A\!}^{-1} = \sqrt{\frac{m}{2}}\left( \begin{array}{cr}1&1\\ 1&\!-1\end{array}\right) \;,$$

con lo cual (otro)

$$\left(\!\begin{array}{c}\eta_1\\ \eta_2\end{array}\!\right) = {\... ...ft(\!\begin{array}{c}\eta_1\!+\!\eta_2\\ \eta_2\!-\!\eta_2\end{array}\!\right)$$

Entonces sustituimos en la lagrangiana para utilizar las nuevas coordenadas, obteniendo una expresión que corresponde a osciladores desacoplados (otro más)

$$L = {\color{Maroon}\frac{1}{2}\dot{\xi}_1^2 - \frac{1}{2}\frac{g}... ...ot{\xi}_2^2 - \frac{1}{2}\left(\frac{g}{\ell}+\frac{2k}{m}\right)\xi_2^2} \;.$$