Oscilaciones forzadas

Cuando se añade al potencial armónico un campo externo variable, abandonamos la idea de oscilaciones “libres” descriptas hasta aquí. Avanzamos en la descripción de este tipo de evolución, aunque siempre en el régimen de pequeñas oscilaciones: el campo externo es suficientemente débil como para mantener a nuestro sistema en un entorno de pequeños apartamientos alrededor de las posiciones de equilibrio.

Restringiéndonos a un problema en una dimensión, además del potencial $\frac{1}{2}kx^2$, consideramos un campo externo $U_e(x,t)$ dependiente del tiempo que —bajo las condiciones mencionadas— puede aproximarse como

$$U_e(x,t) = U_e(0,t) + x\,\left.\frac{\partial U_e}{\partial x}\right\vert _{x=0} = U_e(0,t) + x\,F(t) \;,$$

donde evidentemente el factor $F(t)$ solo depende de $t$, ya que está evaluado en la posición de equilibrio $x\!=\!0\,$: justamente se trata de la fuerza agregada en ese punto. La lagrangiana resultante

$$L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}kx^2 {\color{gray}\,-\,U_e(0,t)} - x\,F(t)$$

nos permite obtener la ecuación de movimiento

$$m\ddot{x}+k\,x=F(t) \qquad\Leftrightarrow\qquad \ddot{x}+\omega^2 x=\frac{F(t)}{m} \;,$$ (27)

donde $\omega^2=k/m$ corresponde a caso de oscilaciones libres, es decir con $F(t)=0$. Esta ecuación diferencial admite una solución homogénea $x_h(t)$ (el célebre oscilador armónico), a la que podemos sumar una solución particular $x_p(t)$ que dependerá de la naturaleza del campo externo aplicado. Estudiaremos aquí el caso

$$F(t) = f \cos(\gamma\,t+\beta) \;,$$

para el cual la solución particular puede expresarse como

$$x_p(t) = b \cos(\gamma\,t+\beta) \;.$$

Sustituyendo en la ecuación diferencial, para los casos $\gamma\neq\omega\,$ resulta (ejercicio)

$$b = \frac{f}{m(\omega^2-\gamma^2)} \;,$$

de modo que la solución general se escribe

$$x(t) = x_h(t) + x_p(t) = a\cos(\omega t+\alpha) + \frac{f}{m(\omega^2-\gamma^2)}\cos(\gamma\,t+\beta) \;.$$

Las constantes $a\,$ y $\alpha\,$ quedan establecidas por las condiciones iniciales, y el movimiento resultante será una combinación de oscilaciones con frecuencias $\omega\,$ y $\gamma$.

Para analizar el caso de resonancia, es decir cuando $\gamma=\omega$, conviene escribir la solución general como (ejercicio)

$$x(t) = c\cos(\omega t+\alpha) + \frac{f}{m(\omega^2-\gamma^2)}% \big[ \cos(\gamma\,t+\beta) - \cos(\omega t+\beta) \big] \;,$$

ya que la indeterminación en el segundo término cuando $\gamma\to\omega$ se puede evaluar mediante la regla de L'Hôpital, obteniendo (ejercicio)

$$x(t) = c\cos(\omega t+\alpha) + \frac{f\,t}{2m\,\omega} \operatorname{sen}(\omega t+\beta) \;.$$

Vemos entonces que, en el caso de resonancia, la amplitud de la oscilación crece linealmente con el tiempo, tendiendo a apartar el sistema del régimen de pequeñas oscilaciones: al cabo de cierto tiempo perderá validez el desarrollo anterior.

Podemos describir la evolución cerca de la condición de resonancia, es decir, tomando $\gamma=\omega+\varepsilon\,$, con $\varepsilon\,$ pequeño. En ese caso escribimos la solución compleja como

$$x(t) = A\,e^{i\omega t} + B\,e^{i(\omega+\varepsilon) t} = \left( A+B\,e^{i\varepsilon t} \right) e^{i\omega t} \;,$$

donde las amplitudes complejas son $A=a\,e^{i\alpha}$ y $B=b\,e^{i\beta}$. Como $\varepsilon\,$ es pequeño, el factor $\left( A+B\,e^{i\varepsilon t} \right)$ varía poco al cabo de un período $T=2\pi/\omega\,$ de la oscilación libre: seguimos teniendo entonces pequeñas oscilaciones de frecuencia $\omega\,$ y amplitud variable $C=\left\vert A+B\,e^{i\varepsilon t}\right\vert$. Como se cumple que (ejercicio)

$$C^2 = a^2 + b^2 + 2\,ab\cos(\varepsilon t + \beta - \alpha) \;,$$

vemos que esta amplitud varía peródicamente con frecuencia $\varepsilon\,$ y se cumple que $\vert a-b\vert\le C\le a+b\,$, fenómeno conocido como “pulsaciones” de estas oscilaciones forzadas.

En un caso general en que la fuerza exterior $F(t)\,$ no es necesariamente sinusoidal, la ecuación de movimiento (27) como

$$\frac{{\rm d}~}{{\rm d}t}(\dot{x}+i\,\omega\,x) - i\,\omega\,{\c... ...x}+i\,\omega\,x)}_{\xi(t)}} = \dot{\xi} - i\,\omega\,\xi = \frac{F(t)}{m} \;.$$

La solución de la ecuación homogénea $(F(t)=0)$ es

$$\xi_h = D\,e^{i\omega t} \qquad (D \;$$cte$$)\;,$$

lo que sugiere expresar la solución general en términos de una función $D(t)$ dependiente de $t$ como

$$\xi(t) = D(t)\,e^{i\omega t} \;,$$

que satisfará  la ecuación (ejercicio)

$$\dot{D}(t) = \frac{F(t)}{m}\,e^{-i\omega t} \;.$$

Entonces podemos escribir para la solución general

$$\xi(t) = e^{i\omega t} \left[ \int_0^t {\rm d}t'\; \frac{F(t')}{m}\,e^{-i\omega t'} + \xi_o \right] \;,$$

donde $\xi_o=\xi(t\!=\!0)$.

La aparición de esta fuerza dependiente de $t$ hace que la energía no se conserve. Si en $t=-\infty\,$ elegimos $E=0\,$ y $\,\xi(-\infty)=0\,$, la energía total consumida por la fuerza externa puede calcularse a partir de

$$\vert\xi(\infty)\vert^2 = \frac{1}{m^2} \left\vert \int_{-\infty}^\infty{\rm d}t'\;F(t')\,e^{-i\omega t'} \right\vert^2 \;,$$

ya que

$$E \,{\color{lightgray} -\,E(t=-\infty)} = \frac{1}{2}m\left(\dot{... ...\vert \int_{-\infty}^\infty{\rm d}t'\;F(t')\,e^{-i\omega t'} \right\vert^2 \;.$$

Vemos entonces que la energía consumida se corresponde con la componente de Fourier de $F(t)\,$ según la frecuencia $\omega$. Si $F(t)$ actúa durante un intervalo breve (frente a la magnitud de $1/\omega$), podemos considerar $e^{-i\omega t}\simeq1\,$ de manera que

$$E = \frac{1}{2m} \left[ \int_{-\infty}^\infty{\rm d}t'\;F(t') \right]^2 \;.$$

El corchete del miembro de la derecha no es otra cosa que el impulso adquirido gracias a la fuerza externa, con lo cual esta expresión para la energía ganada por el sistema debería resultarnos de lo más aceptable.