Aislantes con todas las capas llenas

Si los iones del sólido tienen todas sus capas completas, el momento angular total $L$ se anula, y también el espín total $S=0$. En ese estado que notamos como $\left\vert 0 \right\rangle$ se cumple

$$\hspace{13em} \bm{\hat{J}}\left\vert 0 \right\rangle = \big(\bm{\... ...t{S}}\left\vert 0 \right\rangle = 0 \;{\color{gray}\left\vert 0 \right\rangle }$$   (para cualquier proyección)$$.$$

Por lo tanto en este caso las correcciones para las autoenergías lineales en $B\,$ se anulan, de modo que el corrimiento del estado fundamental resulta

$$\Delta E_o = \frac{e^2B^2}{8mc^2}\left\langle0\left\vert\sum \le... ...}{12mc^2} \left\langle 0 \left\vert \sum r_i^2 \right\vert 0 \right\rangle \;,$$

donde utilizamos el hecho de que $\left\langle\sum x_i^2\right\rangle=\left\langle\sum y_i^2\right\rangle=\left\langle\sum r_i^2\right\rangle/3$. Recordando que en virtud del acoplamiento con la fuente de campo, los valores de expectación de estos hamiltonianos están asociados con la entalpía magnética $E_o=U_o-B\bar{M}$, podemos encontrar la susceptibilidad para este caso derivando respecto de $B$ y cambiando el signo ( $\,{\rm d}E_o\!=\!T\,{\rm d}S\,-\,\bar{M}\,{\rm d}B$)

$$\chi = -\frac{N}{V} \frac{\partial^2(\Delta E_o)\rule{-3em}{0em}}... ...\frac{N}{V} \left\langle 0 \left\vert\sum r_i^2\right\vert 0 \right\rangle \;.$$

Esta cantidad resulta siempre menor que 0, y es conocida como susceptibilidad diamagnética de Larmor. Para estimar la magnitud de estas $\chi$, notemos que en cada ion con $Z_i$ electrones puede computarse

$$\langle r^2 \rangle = \frac{1}{Z_i}\sum_j\left\langle 0 \left\vert r_j^2\right\vert 0 \right\rangle \;,$$

donde la suma abarca todos los electrones del ion; entonces la susceptibilidad molar se escribe

$$\chi^{\rm molar} = - Z_i\,N_{A}\frac{e^2}{6mc^2} \langle r^2 \ran... ...rac{N_A a_o^3}{6} \left\langle \left(\frac{r}{a_o}\right)^2 \right\rangle \;.$$

En esta expresión nos encontramos con la constante de estructura fina $e^2/(\hbar c)\!\simeq\!1/137$, el número de Avogadro $N_A$, el radio de Bohr $a_o\!=\!\hbar^2/(me^2)\!=\!0.529$ Å, y sabemos que $\langle(r/a_o)^2\rangle\sim1$. Con todo esto resulta $\vert\chi\vert\approx10^{-5}$, es decir susceptibilidades sumamente pequeñas. La respuesta diamagnética ($\chi<0$) de aislantes que a temperatura ambiente se encuentran en su estado fundamental se estima adecuadamente mediante este desarrollo.