Ferromagneto de Heisenberg

Describimos un sistema de iones interactuando entre pares mediante el modelo anterior, y además sometido a un campo externo $B\bm{\hat{z}}$: en cada sitio $\bm{R}$ de la red se encuentra un ion que tiene asociado un operador de espín $\bm{\hat{S}}(\bm{R})$, de manera que el hamiltoniano conjunto resulta

$$\hat{H} = -\frac{1}{2} \sum_{\bm{R},\bm{R'}} \bm{\hat{S}}(\bm{R})... ...,J(\bm{R}-\bm{R'}) - \frac{g\mu_B B}{\hbar} \sum_{\bm{R}} \hat{S}_z(\bm{R}) \;.$$ (34)

Las constantes de acoplamiento tienen unidades de [energía/$\hbar^2$] y dependen de la distancia entre iones, cumpliendo la relación

$$J(\bm{R}-\bm{R'}) = J(\bm{R'}-\bm{R}) \ge 0 \;,$$

es decir, favorecen que los espines estén alineados en la misma dirección (ferromagneto). Denotando con $\left\vert S_z \right\rangle _{\bm{R}}$ a la función de onda de espín para el sitio $\bm{R}\,$ con proyección $S_z\,$ ( $\hat{S}_z(\bm{R})\left\vert S_z \right\rangle _{\bm{R}}=\hbar\,S_z\left\vert S_z \right\rangle _{\bm{R}}$), si la interacción fuera muy débil el estado fundamental $\left\vert 0 \right\rangle$ tendría todos los espines alineados con el campo ($S_z\!=\!S$), cumpliéndose

$$\hat{S}_z(\bm{R})\,\left\vert S \right\rangle _{\bm{R}} = \hbar\,... ...\right\rangle = \prod_{\bm{R}\otimes} \left\vert S \right\rangle _{\bm{R}} \;.$$

Si para cada sitio de red definimos los operadores de subida y bajada como es habitual

$$\hat{S}_\pm(\bm{R}) = \hat{S}_x(\bm{R}) \pm i\hat{S}_y(\bm{R}) \;,$$

cuya acción ya conocemos

$$\hat{S}_\pm(\bm{R}) \left\vert S_z \right\rangle _{\bm{R}} = \hbar \sqrt{(S\mp S_z)(S+1\pm S_z)} \left\vert S_z\pm 1 \right\rangle _{\bm{R}} \;,$$

podemos reescribir el hamiltoniano del sistema como

$$\hat{H} = -\frac{1}{2} \sum_{\bm{R},\bm{R'}} J(\bm{R}-\bm{R'})\, ... ...\bm{R},\bm{R'}} J(\bm{R}-\bm{R'})\, \hat{S}_-(\bm{R'})\,\hat{S}_+(\bm{R}) \;.$$

Como $\hat{S}_+(\bm{R})\left\vert S_z\!=\!S \right\rangle _{\bm{R}} = 0$, al aplicar $\hat{H}$ al estado fundamental del caso previo $\left\vert 0 \right\rangle$, la última suma no aporta, y como $\left\vert 0 \right\rangle$ es autoestado de $\hat{S}_z(\bm{R})$, entonces

$$\hat{H}\left\vert 0 \right\rangle = E_o \left\vert 0 \right\rangl... ...frac{\hbar^2 S^2}{2} \sum_{\bm{R},\bm{R'}} J(\bm{R}-\bm{R'}) - Ng\mu_B B S \;.$$

Para comprobar que efectivamente es el estado fundamental, podemos evaluar

$$E_o' = \big\langle 0' \big\vert \hat{H} \big\vert 0' \big\rangle$$   para algún $$\left\vert 0' \right\rangle \neq\left\vert 0 \right\rangle \;.$$

Debido a que los iones tienen espín $S$, sabemos que $-S\le S_z\le S$. Además al sumar $\bm{\hat{S}}(\bm{R})+\bm{\hat{S}}(\bm{R'})$ el espín resultante de cada par tendrá una magnitud $S_p\le S+S=2S\,$. Como en $\hat{H}$ (34) interviene

$$\bm{\hat{S}}(\bm{R})\cdot\bm{\hat{S}}(\bm{R'}) = \frac{1}{2}\big... ... \big]^2 - \frac{1}{2} \big[ \hat{S}^2(\bm{R}) + \hat{S}^2(\bm{R'}) \big] \;,$$

y $\left\langle 0' \right\vert\hat{S}^2(\bm{R})\left\vert 0' \right\rangle =\left\langle 0' \right\vert\hat{S}^2(\bm{R'})\left\vert 0' \right\rangle =\hbar^2 S(S+1)$, podemos establecer cotas para los términos que conforman $E_o'$. Por un lado

$$\big\langle 0' \big\vert \bm{\hat{S}}(\bm{R})\cdot\bm{\hat{S}}(\b... ...\hbar^2S(S+1) \le \frac{1}{2}\hbar^2 (2S)(2S+1) - \hbar^2S(S+1) = \hbar^2 S^2$$

y además $\big\langle 0' \big\vert \hat{S}_z(\bm{R}) \big\vert 0' \big\rangle=\hbar S_z\le\hbar S$, de modo que

$$E_o' \ge -\frac{1}{2} \sum_{\bm{R},\bm{R'}} J(\bm{R}-\bm{R'})\,\hbar^2 S^2 - \frac{g\mu_B B}{\hbar} \sum_{\bm{R}} \hbar S = E_o \;.$$

Como esto se cumple para cualquier estado $\left\vert 0' \right\rangle \neq\left\vert 0 \right\rangle$, lo que hemos mostrado es que efectivamente $E_o$ es la energía del estado fundamental, que no es otro que $\left\vert 0 \right\rangle$.

Si bien todo sugiere que un planteo similar puede aplicarse al caso antiferromagnético, es importante mencionar que no resulta simple avanzar con los cálculos, y solo es posible establecer cotas poco precisas para el estado fundamental. Para algunos casos sencillos se ha logrado la resolución, por ejemplo para una red unidimensional de espines 1/2, o bien para sistemas de pocos espines (no necesariamente 1/2).

A $T=0$ un ferromagneto se encuentra entonces en su estado fundamental, es decir, todos los iones con $S_z\!=\!S$ y por lo tanto la magnetización saturada

$$M (T\!=\!0) = g\mu_B\frac{N}{V}S \;.$$

Para $T>0$ es preciso promediar los diferentes estados con los correspondientes factores $e^{-\beta E}$, según la energía $E$ asociada a cada estado. Como siempre, a temperaturas poco elevadas solo contribuyen estados de menor energía, lo que permite estimar el comportamiento magnético de un ferromagneto a temperaturas suficientemente bajas. Un estado $\left\vert \bm{R} \right\rangle$ con todos los espines saturados con $S_z\!=\!S$ excepto el ion en $\bm{R}$, que tiene $S_z\!=\!S\!-\!1$, siempre puede escribirse

$$\left\vert \bm{R} \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2S}\,\hbar}\, \hat{S}_-(\bm{R}) \left\vert 0 \right\rangle \;.$$

Estos estados siguen siendo autoestados de los términos de $\hat{H}$ que involucran $\hat{S}_z$, pero ahora hay que notar que $\hat{S}_+(\bm{R})\left\vert \bm{R} \right\rangle \neq0$. En cambio pueden utilizarse las siguientes relaciones (ejercicios)

$$\hat{S}_-(\bm{R'})\, \hat{S}_+(\bm{R})\, \left\vert \bm{R} \right... ...bar \left(S-\delta_{\bm{R},\bm{R'}}\right) \left\vert \bm{R} \right\rangle \;,$$

de manera que

$$\hat{H}\left\vert \bm{R} \right\rangle = E_o \left\vert \bm{R} \r... ... \left\vert \bm{R} \right\rangle -\left\vert \bm{R'} \right\rangle \right] \;,$$

lo que significa que $\left\vert \bm{R} \right\rangle$ no es autoestado de $\hat{H}$. En realidad $\hat{H}\left\vert \bm{R} \right\rangle$ es una combinación lineal de $\left\vert \bm{R} \right\rangle$ y otros estados con un solo espín bajado de la máxima proyección $S$. Tomando

$$\left\vert \bm{k} \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\bm{R}} e^{i\bm{k}\cdot\bm{R}}\left\vert \bm{R} \right\rangle$$ (35)

se deja como ejercicio ver que se cumple

$$\hat{H} \left\vert \bm{k} \right\rangle = \left[ E_o + g\mu_B B +... ...rt \bm{k} \right\rangle \equiv E_{\bm{k}} \left\vert \bm{k} \right\rangle \;.$$

Recordando que $J(-\bm{R})=J(\bm{R})$, podemos escribir

$$\mathscr{E}(\bm{k}) \equiv E_{\bm{k}} - E_o = 2\hbar^2 S \sum_{\bm{R}} J(\bm{R})\,\operatorname{sen}^2\frac{\bm{k}\cdot\bm{R}}{2} + g\mu_B B \;.$$

Como los $\left\vert \bm{k} \right\rangle$ combinan estados con $S_z\!=\!S\!-\!1$ en un solo $\bm{R}$ y el resto con $S_z\!=\!S$, el espín total del sistema suma $NS\!-\!1$. La probabilidad de encontrar $S_z\!=\!S\!-\!1$ en el sitio $\bm{R}$ es $\vert\left\langle \bm{k} \,\vert\, \bm{R} \right\rangle \vert^2\!=\!1/N$, idéntica para todos los $\bm{R}$ y todos los $\bm{k}$.

Si descomponemos los operadores $\bm{\hat{S}}$ según la dirección del campo ( $\bm{\hat{z}}$) y la normal al mismo, la función correlación transversal entre espines en un estado $\bm{k}$ es el valor de expectación de

$$\bm{\hat{S}}_\perp(\bm{R})\cdot\bm{\hat{S}}_\perp(\bm{R'}) = \hat{S}_x(\bm{R})\,\hat{S}_x(\bm{R'}) + \hat{S}_y(\bm{R})\,\hat{S}_y(\bm{R'}) \;.$$

Se deja como ejercicio mostrar que

$$\big\langle \bm{k} \big\vert \bm{\hat{S}}_\perp(\bm{R})\cdot\bm{\... ...rt \bm{k} \big\rangle = \frac{2\hbar^2 S}{N} \cos[\bm{k}\cdot(\bm{R}-\bm{R'}) ]$$   para $$\bm{R}\neq\bm{R'} \;,$$

que puede entenderse pensando que en promedio cada espín tiene una pequeña componente normal al momento magnético promedio ($\bm{M}$) del orden de $\sqrt{2\hbar^2 S/N}$.

Las funciones (35) se denominan “ondas de espín”, y al estudiar los cuantos de energía transportados por estas ondas suele hablarse de “magnones”. A temperaturas finitas en el sistema aparecen estados excitados, que corresponden a desviaciones del estado fundamental con cierta orientación preferencial: el rol de estas ondas es similar al de los fonones, es decir transportan energía, contribuyendo no solo a transmitir una señal magnética, sino también a posibles flujos de calor. Según su orientación, los espines contribuyen en distinta medida a la conductividad eléctrica o a los fenómenos termoeléctricos

Para el cómputo de la magnetización del sistema, conviene notar que los cuantos de estas ondas de espín se consideran partículas indistinguibles con espín 0, de modo que pueden describirse mediante la estadística de Bose-Einstein. Si las poblaciones del estado $\left\vert \bm{k} \right\rangle$ se denotan como $\{n_{\bm{k}}\}$, la energía del sistema es

$$E\left(\{n_{\bm{k}}\}\right) = \sum_{\bm{k}} n_{\bm{k}}\,\mathscr{E}(\bm{k}) \;,$$

con lo cual podemos construir la población media $n(\bm{k})$ de cada estado y computar la magnetización $M$ a temperatura $T$, teniendo presente que en $T\!=\!0$ $M\propto NS$, mientras que cada onda $\left\vert \bm{k} \right\rangle$ reduce el aporte al momento magnético en 1 unidad

$$n(\bm{k}) = \big\langle n_{\bm{k}} \big\rangle = \frac{1}{e^{\bet... ...^3}\int\!\!\,{\rm d}^3 k\, \frac{1}{e^{\beta\mathscr{E}(\bm{k})}-1} \right] .$$

Como a campo nulo

$$\mathscr{E}(\bm{k}) = 2\hbar^2S \sum_{\bm{R}} J(\bm{R})\,\operatorname{sen}^2\frac{\bm{k}\cdot\bm{R}}{2}$$

y todos los $J>0$, para considerar que solo se pueblan las $\varepsilon$ pequeñas ($T$ bajas), tomamos $\vert\bm{k}\vert$ pequeños y aproximamos

$$\mathscr{E}(\bm{k}) \approx \frac{\hbar^2 S}{2} \sum_{\bm{R}} J(\bm{R})\, (\bm{k}\cdot\bm{R})^2 \;.$$

Esto nos permite simplificar la expresión para $M(T)$, y con algunas otras hipótesis sobre $J(\bm{R})$ se puede avanzar con los cálculos, que no completaremos aquí.

Las ondas de espín también surgen al describir materiales antiferromagnéticos, y los cálculos se tornan aún más complejos. En todos los casos, lo acertado de un modelo se pone en evidencia cerca del punto crítico, como en cualquier sistema donde coexistan diferentes fases: en este caso se trata de la fase ferromagnética (o antiferromagnética) con la fase paramagnética. Para simplificar los cálculos se ha recurrido a numerosos modelos simplificativos, uno de los más comunes es la llamada teoría de campo medio, en la que la interacción de cada espín con el resto del sistema se reemplaza por un campo promedio producto de la interacción con el entorno: ese efecto se agrega al campo externo, y ese campo externo resultante depende de la magnetización (la orientación media de los espines). Con este modelo se predice adecuadamente la transición de fase paramagnética-ferromagnética, aunque a temperaturas bajas las descripciones no resultan adecuadas, ni tampoco el efecto de las ondas de espín; no obstante, ha sido muy utilizado en diferentes desarrollos, utilizándose también mediante analogías en sistemas no magnéticos.