Interacciones entre electrones y estructura magnética

La magnetización espontánea de algunos sólidos pone en evidencia las interacciones magnéticas entre los electrones de un sólido. Recordemos entonces cómo son las interacciones dipolares entre dos dipolos $\bm{m}_1$ y $\bm{m}_2$ separados según un vector $\bm{r}$

$$U = \frac{1}{r^3} \big[ \bm{m}_1\cdot\bm{m}_2 - 3(\bm{m}_1\cdot\bm{\hat{r}})(\bm{m}_2\cdot\bm{\hat{r}}) \big] \;.$$

Teniendo presente que las magnitudes de los dipolos magnéticos asociados a cada ion son

$$m_1 \approx m_2 \approx g\mu_B \approx \frac{e\hbar}{mc} \;,$$

puede estimarse la magnitud de la interacción

$$U \approx \frac{(g\mu_B)^2}{r^3} \approx \left(\frac{e^2}{\hbar ... ...ight)^3 \frac{e^2}{a_o} \approx \frac{1}{137^2} \left(\frac{a_o}{r}\right)^3\,$$Ry$$\qquad {\color{gray} \left(1\,\mbox{Ry}=\frac{e^2}{2a_o}\right)} \;.$$

Cuando tomamos como distancia entre iones $r\approx 2$ Å, la magnitud de esta interacción es sumamente pequeña, de modo que este análisis no conduce a una descripción satisfactoria para las magnetizaciones espontáneas de los materiales.

En realidad la contribución más importante proviene de interacciones electrostáticas: a pesar de que los hamiltonianos no dependen de las interacciones entre momentos magnéticos intrínsecos, surgen efectos que resultan en respuestas magnéticas. Por ejemplo, cuando el hamiltoniano de dos electrones se escribe

$$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\nabla_1^2+\nabla_2^2\right) + V(\bm{r}_1,\bm{r}_2) \;,$$

es decir, no intervienen las coordenadas de espín, la antisimetría de las funciones de onda conjuntas queda condicionada por los estados de espín de los electrones. Sabemos que la función de onda de espín resultante es antisimétrica para el estado singlete ($S\!=\!0$) y simétrica para los estados triplete ($S\!=\!1$). Como en el estado fundamental la función de onda espacial de este sistema debe ser simétrica ante permutaciones (no lo demostramos aquí), para que la función de onda global sea antisimétrica, el estado de espín total sólo puede ser el singlete. Si bien no es fácil generalizar para varias partículas, está claro que también aparecerán estos “efectos magnéticos” en los diferentes estados de un sistema para el cual el hamiltoniano no afecta las coordenadas de espín.

Si solo se consideran las coordenadas de espín en un sistema de dos electrones, como

$$\hat{S}_i \left\vert \chi_{{}\displaystyle_{i}} \right\rangle = \frac{3\hbar^2}{4}\left\vert \chi_{{}\displaystyle_{i}} \right\rangle$$   y$$\qquad \hat{S}^2 = \left(\bm{\hat{S}}_1+\bm{\hat{S}}_2\right)^2 = \frac{3\hbar^2}{2} \hat{I} + 2 \bm{\hat{S}}_1\cdot\bm{\hat{S}}_2 \;,$$

analizando los autovalores de $\hat{S}^2$ y las autoenergías esperadas puede verse que un hamiltoniano independiente de los espines puede escribirse como (ejercicio)

$$\hat{H} = -\frac{J}{\hbar^2} \bm{\hat{S}}_1\cdot\bm{\hat{S}}_2 \;,$$   con$$\quad J = E_s-E_t \;,$$

donde $E_s$ es la energía asociada al estado fundamental (singlete) y $E_t$ la del estado excitado (triplete).

Con este ejemplo en mente, resulta razonable pensar que en un sistema de muchos espines (como es un sólido) las interacciones entre pares son similares a la anterior (aunque en realidad el hamiltoniano sea independiente de los espines), por lo cual se adopta como válida la expresión

$$\hat{H} = -\sum_{i<j} J_{ij}\, \bm{\hat{S}}_i\cdot\bm{\hat{S}}_j \;,$$

donde las $J_{ij}$ se denominan constantes del acoplamiento de intercambio. Este “hamiltoniano de Heisenberg” no tiene mayor justificación que el ejemplo que vimos para dos espines, aunque ha servido para modelar muchas estructuras magnéticas. La forma precedente corresponde al intercambio directo, y como dijimos está relacionada con la interacción coulombiana directa entre iones; a veces dos iones magnéticos interactúan a través de un ion no magnético (todas las capas cerradas), en cuyo caso se la llama interacción de superintercambio.

Hay casos en los que en la interacción intervienen electrones de capas $f$ parcialmente llenas de tierras raras, también llamados metales raros, que son los elementos con número atómico entre 57 (La) y 71 (Lu), más el Sc (21) y el Y (39). En estos casos además del intercambio directo que señalamos arriba, los electrones $f$ pueden acoplarse mediante interacciones con los electrones de conducción, surgiendo el denominado intercambio indirecto, que puede resultar más fuerte que el directo, según cómo sea el solapamiento de estos orbitales $f$.