Metales: paramagnetismo de Pauli

Los electrones de la banda de conducción no están localizados, de manera que la descripción anterior no resulta adecuada. Considerando solo el espín de esos electrones (no su movimiento orbital), cada uno aporta $\mp\mu_B$ al momento magnético total (porque $s\!=\!1/2$ y $g_o\!=\!2$), según esté alineado u opuesto al campo aplicado. Cuando se tienen $n_+$ espines con sus momentos magnéticos alineados con el campo y $n_-$ opuestos (por unidad de volumen), la magnetización será entonces

$$M = \mu_B \left( n_+ - n_-\right) \;.$$

A partir de la densidad de estados $g(\varepsilon)$ para los estados con energía $\varepsilon$ cuando no hay campo magnético, podemos deducir las $g_\pm(\varepsilon)$ asociadas con $n_\pm$. Como solo se trata de un corrimiento en las energías

$$g_\pm(\varepsilon) = \frac{1}{2}g(\varepsilon\pm\mu_B B) \;,$$

y recurriendo a la distribución de Fermi $f(\varepsilon)$ obtenemos el número de espines alineados u opuestos al campo por unidad de volumen

$$n_\pm = \int\! \,{\rm d}\varepsilon\; g_\pm(\varepsilon)\,f(\vare... ...{gray} \left(f(\varepsilon)=\frac{1}{e^{\beta(\varepsilon-\mu)}+1}\right)} \;.$$

El número total $n$ de electrones por unidad de volumen es la suma de $n_+$ y $n_-$, de modo que contamos con una condición extra para el potencial químico. Analizamos primero el caso no degenerado ( $\varepsilon-\mu\ll k_B T$), en el que la distribución anterior puede aproximarse como $f(\varepsilon)\approx e^{-\beta(\varepsilon-\mu)}/2$ (parecido a la estadística de Maxwell-Boltzmann). Entonces las cuentas reproducen el esquema paramagnético de la sección anterior, con $J\!=\!s\!=\!1/2$, cumpliendo con la ley de Curie de manera análoga.

Más a menudo se trabaja con sistemas degenerados, donde se hace notorio el carácter fermiónico de las partículas. Como para $B\!=\!10^4$ gauss (campo intenso) $\mu_B B\approx 10^{-4}\varepsilon_F\,$ puede expandirse $g\pm$ a primer orden, obteniendo en este caso (ejercicio)

$$M = \mu_B^2 B \int\! \,{\rm d}\varepsilon\; g'(\varepsilon)\,f(\v... ...row\qquad \chi_{{}\displaystyle_{\rm Pauli}} = \mu_B^2\, g(\varepsilon_F) \;.$$

Esta última relación es conocida como susceptibilidad paramagnética de Pauli, y resulta 1000 veces menor que el paramagnetismo que se origina en los iones fijos de la red.

Por otro lado, puede registrarse el diamagnetismo atribuido a la traslación de los electrones de conducción, para lo cual es necesario describirlos cuánticamente, ya que mediante la clásica es imposible. A bajas temperaturas y campos suficientemente altos se pone en evidencia la cuantización de las órbitas electrónicas, dando lugar a los niveles de Landau que vimos en Mecánica Estadística. De ese modo se logra obtener la respuesta magnética de los electrones desplazándose en un conductor, fenómeno conocido como diamagnetismo de Landau; la susceptibilidad $\chi_{{}\displaystyle_{\rm Landau}}$ resultante es comparable con la anterior, aunque algo menor

$$\chi_{{}\displaystyle_{\rm Landau}} = -\frac{1}{3}\chi_{{}\displaystyle_{\rm Pauli}} \;,$$

de modo que también resulta bastante menor que la contribución asociada a los iones fijos.