Sistema de iones idénticos (no interactuantes)

Ahora que tenemos descriptos los corrimientos de energía causados por la aplicación de un campo magnético externo, podemos plantear la función partición $z_1$ para cada ion de momento angular total $J$, asumiendo que no hay interacción magnética entre iones (son independientes) y definiendo $\gamma\!=\!\mu_B g(JLS)$

$$z_1(T,B) = \sum_{J_z=-J}^{+J} e^{-\beta\gamma B J_z} = \frac{e^{\... ...)} -e^{-\beta\gamma B (J+1/2)}}{e^{\beta\gamma B/2}-e^{-\beta\gamma B/2}} \;.$$

Planteando para el sistema conjunto de $N$ iones $Z_N\!=\!z_1^N$, queda como ejercicio obtener la energía libre de Gibbs ( $-k_B T\ln Z_N$), y de allí derivar la magnetización por unidad de volumen

$$M = \frac{N}{V}\,\gamma\,J\mathscr{B}_J(\beta\gamma BJ) \;,$$

donde introducimos la función de Brillouin

$$\mathscr{B}_J(x) = \frac{2J+1}{2J} \coth\left(\frac{2J+1}{2J}\,x\right) - \frac{1}{2J} \coth\frac{x}{2J} \;.$$

En el límite de temperaturas bajas ( $\beta\to\infty$), puede verificarse que $M\!\!\stackrel[T\to0]{}{\to}\!(N/V)\gamma J$, que corresponde a todos los dipolos $\bm{\mu}$ orientados según $\bm{B}$. Sin embargo, en general se cumple que $k_B T\gg\gamma B$, porque $\gamma B/k_B\apprle10$ K cuando $B\!=\!10^4$ gauss (campo intenso): entonces típicamente debe evaluarse la función de Brillouin en valores de $x$ pequeños, donde podemos aproximar

$$(x\ll 1) \hspace{4em} \coth x \approx \frac{1}{x} + \frac{1}{3}x + {\cal O}(x^3) \;, \hspace{4em}$$

con lo cual obtenemos

$$\hspace{4em} \chi = \frac{N}{V}\frac{(g\mu_B)^2}{3} \frac{J(J+1)}{k_B T} \qquad (k_B T\gg g\mu_B B) \;.$$

Vemos que en este régimen se satisface la ley de Curie, es decir, $\chi\propto1/T$, característica de paramagnetos que se orientan preferentemente con el campo aplicado, contraponiéndose al desorden térmico.

Vale la pena enfatizar que esta susceptibilidad paramagnética toma valores aproximados entre $10^{-2}$ y $10^{-3}$, es decir unas 500 veces mayor que la susceptibilidad diamagnética de Larmor, por lo cual evidentemente predomina la respuesta paramagnética.