Teorema del límite central

Si tenemos una variable aleatoria $X$ regida por $f_X(x)$, puede definirse una nueva variable como el promedio de $N$ mediciones independientes de dicha magnitud, es decir,

$$y_N = \frac{x_1+x_2+\dots+x_N}N \;.$$

La pregunta que nos planteamos es ¿cómo será la distribución de probabilidades $f_Y(y_N)$ de esta nueva variable estocástica?

Para responder este ácido interrogante, estudiemos primero la variable $z_N\!=\!(x_1\!+\!x_2\!+\!\dots\!+\!x_N)/\sqrt{N}$, que es proporcional a $y_N$; analicemos la función característica correspondiente a $f_Z(z_N)$

$$\Phi(k) = \int {\rm d}z_N\; e^{ikz_{_N}} f_Z(z_N) = \int {\rm d}x_1\d... ... d}x_N\; e^{ik(x_1+x_2+\dots+x_N)/\sqrt{N}} f_X(x_1) f_X(x_2)\dots f_X(x_N)$$

$$= \left[\phi_X\left(\frac{k}{\sqrt{N}}\right)\right]^N \;.$$

Tomando $\sigma^2\!=\!\langle X^2 \rangle \!-\! \langle X \rangle^2$, puede desarrollarse

$$\phi_X\left(\frac{k}{\sqrt{N}}\right) = e^{ik\langle X\rangle/\s... ...e X\rangle/\sqrt{N}} \left[ 1 - \frac{k^2}{2 N} \sigma^2 + \cdots \right]$$

La exponencial oscilatoria en la integral nos permite ver que $\phi_X(k/\sqrt{N})$ decrece con $k$, de manera que $\big[\phi_X\big(k/\sqrt{N}\big)\big]^N$ decrecerá aún más rápidamente. Si cuando $x\!\to\!\infty\; f_X(x)$ decae de tal forma que todos los $\langle X^n \rangle$ son finitos,

$$\Phi(k) = e^{ik\sqrt{N} \langle X\rangle} \left[ 1 - \frac{ k^... ...e X\rangle} e^{\textstyle-\frac{k^2\sigma^2\!\!}{2}} \qquad (N\to\infty)\;.$$

De este modo, podemos reconstruir

$$f_Z(z_N) = \frac 1{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} {\rm d}k\; e^{... ... e^{-ik(z_N-\sqrt{N}\langle X\rangle)\textstyle-\frac{k^2\sigma^2\!\!}{2}}\;.$$

Completando cuadrados puede resolverse la integral para obtener

$$f_Z(z_N) \simeq \frac 1{2\pi} e^{\textstyle -\frac{(z_N-\sqrt{... ...ma} \; e^{\textstyle -\frac{(z_N-\sqrt{N}\langle X\rangle)^2}{2\sigma^2}} \;,$$

de manera que la densidad de probabilidad para la variable $Z$ es una gaussiana centrada en $\langle Z\rangle\!=\!\sqrt{N}\langle X\rangle$, con una desviación estándar $\sigma$, idéntica a la que tiene la variable $X$. Para la variable $Y\!=\!Z/\sqrt{N}$ es directo mostrar que

$$\fbox{ $\displaystyle f_Y(y_N) \simeq \frac 1{\sqrt{2\pi}} ... ...frac{N(y_N-\langle X\rangle)^2}{2\sigma^2}} \rule[-1.75em]{0em}{4em} $ }$$

Estos resultados se conocen como teorema del límite central, y nos dicen que, sin importar cuál es la forma de $f_X(x)$, el valor medio de la variable estocástica $y_N$ coincide con $\langle X \rangle$ y la distribución $f_Y(y_N)$ es gaussiana, con $\sigma_Y\!=\!\sigma/\sqrt{N}$. Vale la pena resaltar que los requisitos que hemos pedido para nuestros $N$ experimentos son: que sean independientes, que los momentos $\langle X^N\rangle$ sean finitos y que $N$ sea grande.