Caminata al azar

Veamos ahora una aplicación típica de la distribución binomial, consistente en un movimiento unidimensional con pasos de longitud fija, hacia adelante (con probabilidad $p$) o hacia atrás (con probabilidad $q$). Analicemos el caso particular en que ambos eventos son igualmente probables, es decir, $p\!=\!q\!=\!1/2$.

Al cabo de un número grande $N$ de pasos, la distribución de probabilidades para $n_1$ pasos hacia adelante será gaussiana, ya que $p N$ también es grande. El desplazamiento neto será $m\!\equiv\!n_1\!-\!n_2$, y como $n_1\!+\!n_2\!=\!N$, podemos reescribir $m\!=\!2n_1\!-\!N$. La distribución de probabilidades para $m$ se obtiene de (3), aunque con esta notación, $m$ sólo puede tomar los valores $-N,-N\!+\!2,\dots,N\!-\!2,N$. Si deseamos incluir valores intermedios de $m$ (pues también son posibles), es necesario agregar un factor 1/2 “repartiendo” la probabilidad, y evitando que se pierda la condición de normalización. De este modo obtenemos

$$P_N(m) = \sqrt{\frac{1}{2\pi N}} e^{\textstyle -\frac{m^2}{2N}}$$

Si la longitud de cada paso es $\ell$, el desplazamiento neto real será $x\!=\!m\ell$. Al cabo de $N$ pasos, $\Delta x\!=\!\ell \Delta m$, de manera que, como $P_N(x) \Delta x = P_N(m) \Delta m = P_N(m) \Delta x/\ell$,

$$P_N(x)=\frac{1}{\sqrt{\displaystyle 2\pi N\ell^2}} e^{\textstyle -\frac{x^2}{2N\ell^2}}\;.$$

Cuando la partícula realiza $n$ pasos por unidad de tiempo, $N=n t$; definiendo el coeficiente de difusión como $D=n \ell^2/2$ se obtiene

$$\fbox{ $\displaystyle P(x,t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi D t}} e^{\textstyle -\frac{x^2}{4 D t}} \rule[-1.75em]{0em}{4em} $ }$$

Este resultado indica que si en $t\!=\!0$ la partícula está localizada en $x\!=\!0$, la distribución inicial es $P(x,0)\!=\!\delta(x)$; a medida que transcurre el tiempo, la distribución se ensancha y se reduce su altura, de modo que el área bajo la curva se mantenga siempre igual a 1.