Distribución de Poisson

En algunos casos, al crecer $N,\; p\to 0$, de modo que $p N=a\; {\rm (cte)} \ll N$. Entonces no es válido tomar $n_1$ grande, ya que sus valores serán próximos a $\langle n_1 \rangle = p N \ll N$. De todos modos, puede usarse la aproximación de Stirling en

$$\frac{N!}{(N-n_1)!} \approx \frac{\sqrt{N}}{\sqrt{N-n_1}} \fra... ...\rule[0em]{0em}{1.45em}} \approx \frac{N^{n_1} e^{-n_1}}{e^{-n_1}} = N^{n_1}$$

y

$$(1-p)^{N-n_1} \left(=q^{n_2}\right) \approx (1-p)^N =\left(1-\frac{a}{N}\right)^{N} \to e^{-a}\;,$$

de manera que

$$\fbox{ $\displaystyle P_N(n_1) = \frac{a^{n_1} e^{-a}}{n_1!} \rule[-1.75em]{0em}{4em} $ }$$

que es la llamada distribución de Poisson. Vemos que cumple la condición de normalización

$$\sum_{n_1=0}^\infty P_N(n_1) = e^a e^{-a} =1$$

y queda completamente determinada por el primer momento $\langle n_1 \rangle=a$.