Distribución gaussiana

Cuando $N$ es suficientemente grande y $p$ no es demasiado pequeña, de manera que $p N$ también sea grande, podemos utilizar la fórmula de Stirling para aproximar

$$n! \cong \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \;,$$

que es válida para $n>10$. Si tenemos en cuenta que $N$ y $n_1$ son muy grandes, reemplazando en la distribución binomial, podemos escribir

$$P_N(n_1) = \frac 1{\sqrt{2\pi N}} \exp{ \left[ - n_1\ln\frac{n_1}N - (N-n_1)\ln\frac{N-n_1}N + n_1\ln p + (N-n_1)\ln(1-p) \right] } \;.$$ (2)

Es sencillo demostrar que $P_N$ es máximo cuando $n_1$ vale $p N=\langle n_1 \rangle$. Podemos desarrollar el exponente de $P_N$ alrededor de $\langle n_1 \rangle$, obteniendo

$$P_N(n_1) = P_N(\langle n_1 \rangle) e^{{\textstyle -\frac{\epsilon^2}{2N p q} +} {\cal O}(\epsilon^3)} \;,$$

donde $\epsilon\equiv n_1-\langle n_1 \rangle$. Como para $N$ grande $\epsilon$ es chico, puede mostrarse que es una buena aproximación descartar los términos de orden superior al segundo. Recordando que $N p q=\sigma_N^2$ y evaluando correctamente $P_N(\langle n_1 \rangle)$ en la expresión (2), se obtiene

$$\fbox{ $\displaystyle P_N(n_1) = \frac1{\sqrt{2\pi} \sigma_... ...n_1-\langle n_1 \rangle)^2}{2 \sigma_N^2}} \rule[-1.75em]{0em}{4.5em} $ }$$ (3)

Esta es la conocida distribución gaussiana, y tiene la particularidad de que queda absolutamente determinada mediante $\langle n_1 \rangle$ y $\langle n_1^2 \rangle$.