Permutaciones y combinaciones

Cuando trabajamos con muchos objetos, estos conceptos aparecen frecuentemente. Una permutación es un arreglo de un conjunto de $N$ objetos diferentes en un orden definido. El número de permutaciones diferentes de estos $N$ objetos es $N!$; esto se ve fácilmente si pensamos que para la primera alternativa disponemos de los $N$ elementos del conjunto, cada uno de los cuales puede complementarse con los $(N-1)$ restantes como segunda opción, y así hasta llegar a la última elección, conformando el producto $N\cdot(N-1)\cdot\dots\cdot1=N!$.

El número de permutaciones posibles al tomar $R$ objetos del conjunto de $N$ elementos será, siguiendo el mismo razonamiento,

$$N\cdot(N-1)\cdot\dots\cdot(N-R+1)=\frac{N!}{(N-R)!} \;.$$

Conviene enfatizar que también en este caso distinguimos subconjuntos que hayan sido escogidos en diferente orden. Una combinación $C_R^N$ es una selección de $R$ objetos sin importar el orden en que se escojan:

$$C_R^N = \frac{N!}{(N-R)!\;R!} \equiv \left(\! \begin{array}{c} N R \end{array} \!\right) \;.$$

El factor $R!$ del denominador descuenta aquellas configuraciones que tienen los mismos elementos y sólo difieren en su ordenamiento.

Si un conjunto de $N$ elementos contiene $n_1$ elementos idénticos de tipo 1, $n_2$ de tipo 2, $\dots$ , $n_k$ de tipo $k$, puede verse que el número de permutaciones posibles será

$$\frac{N!}{n_1!\;n_2!\;\cdots\;n_k!} \qquad\qquad \left(\sum_i^k n_i = N\right) \;.$$