Definición de probabilidad

Aceptamos como probabilidad nuestra expectativa respecto del resultado de un experimento o “evento”. Si un posible resultado de cierto experimento es $A$, su probabilidad es $P(A)$ si al realizar $N$ experimentos idénticos esperamos que el resultado $A$ se obtenga en $N P(A)$ de ellos. Dicho de otra manera, a medida que $N\to\infty$, esperamos que la fracción de eventos con resultado $A$ tienda a $P(A)$.

Un ejemplo sencillo pero que encontraremos muy frecuentemente es el de $n$ resultados igualmente probables de los cuales $m$ corresponden al caso $A$ que nos interesa: en ese caso, $P(A)=m/n$.

Definimos espacio muestral asociado a un determinado experimento como el conjunto $S$ constituido por todos los resultados posibles de ese experimento. Un evento plausible entonces corresponderá a un subconjunto de $S$.

Utilizando el lenguaje de teoría de conjuntos, denotamos como $A\cup B$ a la unión de $A$ y $B$, que es el conjunto de todos los puntos que pertenecen a $A$ o a $B$ (o a ambos). La intersección $A\cap B$ de estos conjuntos se define como el conjunto de todos los puntos que pertenecen a $A$ y a $B$ simultáneamente. Si $A\cap B = \varnothing$ (no contiene puntos), $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes.

Algunas probabilidades que resultan evidentes, en esta notación se expresan como

$$P(\varnothing)=0 \;,\qquad P(S)=1 \;.$$

$P(A\cap B)$ representará entonces la probabilidad de tener ambos resultados, y $P(A\cup B)$, la probabilidad de tener como resultado un evento $A$ o $B$ (o ambos). En particular,

$$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \;.$$

En el caso de que $A$ y $B$ sean mutuamente excluyentes tendremos $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

Si $A_1, A_2, \dots , A_m$ son mutuamente excluyentes y exhaustivos, es decir, cubren todo el espacio muestral y por lo tanto $A_1\cup A_2\cup \cdots\cup A_m = S$, decimos que $\{A_j\}$ es una partición de $S$ en $m$ subconjuntos. Cuando $\{A_j\}$ es una partición se cumple que $P(A_1)+P(A_2)+\cdots+P(A_m)=1$.

Dos observaciones diferentes $A$ y $B$ (pueden ser de eventos similares o completamente distintas) son eventos independientes si y sólo si $P(A\cap B)=P(A) P(B)$. Aquí es importante destacar que en esta notación, $P(A)$ corresponde al resultado $A$ permitiendo cualquier evento $B$, y análogamente para el resultado $B$.

Se define probabilidad condicional $P(B\vert A)$ como la probabilidad de obtener el resultado $A$ dado que también se obtiene $B$:

$$P(B\vert A) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \;.$$

En esta expresión el denominador de alguna manera sugiere una nueva normalización, como si redujéramos el espacio muestral al evento $B$. Como $P(A\cap B)=P(B\cap A)$, puede inferirse la relación

$$P(A) P(A\vert B) = P(B) P(B\vert A) \;.$$

Evidentemente, en el caso de que $A$ y $B$ sean independientes, se cumple que $P(B\vert A)=P(A)$.