El formalismo de la segunda cuantización

La función de onda del sistema debe satisfacer la ecuación de Schrödinger

$$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\! {}^{\displaystyle\Psi(x_1,\dots,x_N;t)}=\hat{H} \Psi(x_1,\dots,x_N;t)\;.$$

En el caso en que el hamiltoniano sea separable

$$\hat{H} = \sum_{j=1}^N \textcolor{gris}{\hat{I}_1\otimes\hat{I}... ...\textcolor{gris}{\otimes\cdots\otimes\hat{I}_N} = \sum_{j=1}^N\; \hat{H}^{(j)}$$   (simplificando notación)$$\;,$$

podemos escribir la ecuación de Schrödinger en la notación de Dirac

$$i\hbar \frac{\partial \vert\Psi\rangle}{\partial t} = \sum_{j=1}... ...xtcolor{gris}{\left.\otimes\cdots\otimes\hat{I}_N \right]} \vert\Psi\rangle\;.$$

Utilizando la propiedad (ejercicio)

$$\langle m_1,\dots,m_N \vert\hat{H}\vert m_1',\dots,m_N' \rangle =... ...rt\hat{h}^{(j)}\vert m'_j\rangle \prod_{r=1, r\neq j}^N \delta_{m'_r,m_r} \;,$$

se obtiene, a partir de (17), la ecuación equivalente

$$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\!{}^{\displaystyle c(m_1,\d... ... m_j \vert\hat{h}^{(j)}\vert m'_j\rangle \; c(m_1,\dots,m'_j,\dots,m_N;t) \;.$$

Esta identidad nos dice que la evolución temporal de los coeficientes $c(m_1,\dots,m_N;t)$ está determinada por las probabilidades de transición de cada partícula $j$ para pasar del estado $m'_j$ al estado $m_j$ (siempre sumando sobre todas las transiciones posibles).

Esta misma idea puede darse en términos de los números de ocupación. Pensemos en el caso en que antes de la transición hay $n_{m'_j}$ partículas en el estado $m'_j$ y $n_{m_j}$ en el estado $m_j$, y después de la transición hay $(n_{m'_j}-1)$ partículas en el estado $m'_j$ y $(n_{m_j}+1)$ en el estado $m_j$. Resulta natural pensar este proceso asociándolo con la aniquilación de una partícula en el estado $m'_j$ juntamente con la creación de otra en el estado $m_j$. Los operadores básicos del formalismo de la segunda cuantización actúan precisamente mediante esos procesos: creación y aniquilación.

Si adoptamos una base ortonormal $\bigl\{\phi(\{n_m\})\bigr\}$ con un producto interno asociado de manera que

$$\bigl( \phi(\dots,n_m,\dots) , \phi(\dots,n'_m,\dots) \bigr) = \prod_m \delta_{n_m,n_m'} \;,$$

el operador aniquilación se define mediante la relación

$$\hat{a}_m \phi(\dots,n_m,\dots) = \sqrt{n_m} \phi(\dots,n_m-1,\dots)$$

y el operador creación a través de

$${\hat{a}_m}^{ \dagger} \phi(\dots,n_m,\dots) = \sqrt{n_m+1} \phi(\dots,n_m+1,\dots) \;.$$

(De este modo, para cada estado $m$ hay un par de operadores $\hat{a}_m, {\hat{a}_m}^{ \dagger}$.)

Si bien la notación puede parecer enrevesada, adan arap se ol on. Se deja como ejercicio verificar que cada uno de estos operadores es el conjugado hermitiano del otro. Evidentemente, esto significa que $\hat{a}_m$ y ${\hat{a}_m}^{ \dagger}$ no son hermitianos.

Con estos nuevos elementos, resulta natural incorporar el operador

$$\hat{\cal H} = \sum_{m,m'}\; \langle m \vert\hat{h}^{(j)}\vert m' \rangle\; {\hat{a}_m}^{ \dagger} \hat{a}_{m'}$$

para producir las transiciones que procurábamos. En esta última expresión hemos eliminado los índices $j$ en virtud de que las partículas son indistinguibles. Centraremos nuestra atención en el operador número para el estado $m$, cuya definición natural es

$${\hat{a}_m}^{ \dagger} \hat{a}_m\; \phi(\dots,n_m,\dots) = n_m \phi(\dots,n_m,\dots) \;.$$

Las autofunciones de este operador son estados con números de ocupación $\{n_j\}$ bien definidos.

La conservación del número de partículas permite definir el operador número total

$$\sum_m\; {\hat{a}_m}^{ \dagger} \hat{a}_m = \hat{N} \;,$$

que, al actuar sobre funciones con $\{n_j\}$ bien definidos nos devuelve el número total de partículas del sistema.

Como

$$\hat{a}_m {\hat{a}_m}^{ \dagger}\; \phi(\dots,n_m,\dots) = (n_m+1) \phi(\dots,n_m,\dots) \;,$$

es obvio que $\hat{a}_m$ y ${\hat{a}_m}^{ \dagger}$ no conmutan. Para agilizar la pluma, se deja como ejercicio sencillo verificar que se cumplen las siguientes relaciones:

$$\left[\hat{a}_m,\hat{a}_{m'}\rule[-0em]{0em}{1em}\right] =\; 0$$

$$\left[{\hat{a}_m}^{ \dagger},{\hat{a}_{m'}}^{ \dagger}\right] = \; 0$$

$$\left[\hat{a}_m,{\hat{a}_{m'}}^{ \dagger}\right] =\; \delta_{m,m'}$$

Un hecho importante de este formalismo es que existe un “estado vacío” $\phi_o\equiv\phi(0,0,\dots)$. Cuando consideramos este estado, se cumple que $\hat{a}_m\phi_o\!=\!0$ para cualquier valor de $m$. La base $\phi(\dots,n_m,\dots)$ puede construirse aplicando sucesivamente ${\hat{a}}^{ \dagger}$ a $\phi_o$. Por ejemplo, ${\hat{a}_m}^{ \dagger} \phi_o$ es un estado normalizado con 1 partícula; $\left(1/\sqrt{1+\delta_{m,m'}}\right)\;{\hat{a}_m}^{ \dagger} {\hat{a}_{m'}}^{ \dagger} \phi_o$ es un estado normalizado correspondiente a dos partículas, etc.

Estos estados son automáticamente simétricos ante permutaciones de partículas en estados $m$ y $m'$ arbitrarios, y vemos que no hay ninguna restricción sobre el número de partículas $n_m$ que pueden habitar un estado cualquiera. Esta característica permite construir directamente el caso general para un sistema de bosones:

$$\Psi = c_o \phi_o + \sum_m c_m {\hat{a}_m}^{ \dagger} \phi_o... ...,m') {\hat{a}_m}^{ \dagger} {\hat{a}_{m'}}^{ \dagger} \phi_o +\cdots\;.$$

Este formalismo se denomina representación de Fock, y la expresión anterior es válida para cualquier caso en que el número total de partículas fluctúe: resulta muy adecuada para la descripción de fotones y fonones, y también para los estados que nos permiten construir el ensamble gran canónico. En el caso en que $N$ es constante, la expresión anterior se reduce a

$$\Psi = \sum_{m_1}\cdots\sum_{m_{_N}} \frac 1{\sqrt{\prod_i n_i!}}... ... {\hat{a}_{m_1}}^{ \dagger}\cdots {\hat{a}_{m_{_N}}}^{ \dagger} \phi_o\;.$$

En esta suma puede haber términos con $m_i$ iguales; los denominadores $\sqrt{n_i!}$ provienen del hecho de que al aplicar $n_i$ veces el operador ${\hat{a}_{m_{_i}}}^{ \dagger}$ no se tiene un estado normalizado, como habíamos planteado en un comienzo.

Para el caso de fermiones deben redefinirse los operadores creación y aniquilación de manera que sólo permitan que los números de ocupación adopten los valores 0 ó 1. Si ordenamos los estados individuales de manera que puedan tomarse $\varepsilon_{m_1} \!\le\! \varepsilon_{m_2} \!\le\! \dots \!\le\! \varepsilon_{m_j} \dots$, el número de estados ocupados por debajo del nivel $m$ puede escribirse como

$$s_m = \sum_{j=m_1}^m\;n_j \;,$$

con lo cual los operadores aniquilación y creación pueden definirse respectivamente como

$$\hat{\alpha}_m \phi(\dots,n_m,\dots) = (-1)^{s_m} n_m\;\phi(\dots,n_m-1,\dots) \qquad {\rm y}$$

$${\hat{\alpha}_m}^{ \dagger} \phi(\dots,n_m,\dots) = (-1)^{s_m} (1-n_m)\;\phi(\dots,n_m+1,\dots) \;.$$

Puede verse fácilmente que de esta manera se respetan adecuadamente las reglas de exclusión y la antisimetría requerida para la función de onda $\Psi$ al reproducir la construcción que hicimos para bosones.