Partículas idénticas (basado en el texto de Balescu)

En un sistema de $N$ partículas indistinguibles, debe exigirse que la función de onda conjunta provea la misma densidad de probabilidad al intercambiar dos (o más) partículas cualesquiera $k$ y $\ell$:

$$\left\vert\Psi(\dots,x_k,\dots,x_\ell,\dots\textcolor{gris}{;t})\... ...ft\vert\Psi(\dots,x_\ell,\dots,x_k,\dots\textcolor{gris}{;t})\right\vert^2 \;.$$

Esto implica que la función de onda debe permanecer inalterada o a lo sumo cambiar de signo, condición que suele resumirse mediante la notación

$$\Psi(\dots,x_k,\dots,x_\ell,\dots\textcolor{gris}{;t}) = \theta \Psi(\dots,x_\ell,\dots,x_k,\dots\textcolor{gris}{;t}) \;,$$

con $\theta\!=\!+1$ para el caso de bosones (partículas con espín entero) y $\theta\!=\!-1$ para fermiones (espín semientero). Esta condición es conocida como postulado de simetrización: en el caso de bosones la función de onda conjunta debe ser simétrica ante permutaciones de las partículas, y para fermiones, antisimétrica.

Usualmente comenzamos nuestra descripción escribiendo $\Psi$ en términos de productos tensoriales de las funciones de onda individuales

$$\Psi(x_1,\dots,x_N;t) = \sum_{m_1}\cdots\sum_{m_N} c(m_1,\dots,m_N;t)\; \varphi_{m_1}(x_1)\dots\varphi_{m_N}(x_N) \;.$$ (17)

Aquí los $m_j$ pueden ser vectores de números cuánticos que representan los posibles estados individuales, y las $\varphi_{m}(x)$ son las autofunciones estacionarias individuales. Como el producto tensorial $\varphi_{m_1}(x_1)\dots\varphi_{m_N}(x_N)$ (o $\vert m_1\rangle\otimes\vert m_2\rangle\otimes\dots\vert m_N\rangle$ en la notación de Dirac) no satisface de antemano ninguna simetría, sobre los coeficientes $c(m_1,\dots,m_N;t)$ debe imponerse la condición

$$c(\dots,m_k,\dots,m_\ell,\dots;t) = \theta c(\dots,m_\ell,\dots,m_k,\dots;t) \;,$$

para satisfacer el postulado de simetrización. De aquí se deduce directamente el principio de exclusión de Pauli, pues en el caso de fermiones la única posibilidad para que se cumpla la identidad anterior cuando dos estados son iguales a $m$ es $c(\dots,m_k\!=\!m,\dots,m_\ell\!=\!m,\dots)\!=\!0$, con lo cual es imposible que dos fermiones ocupen el mismo estado.

En este contexto, vemos que lo que importa es cuántas partículas $n_\ell$ se encuentran en el estado $m_\ell$, pues no podemos distinguir cuál es cuál. En otros términos, las variables “naturales” para caracterizar un estado son los números de ocupación $n_\ell$. La densidad de probabilidad en términos de los $\{n_\ell\}$ debe ser equivalente a la descripción basada en el conjunto de números cuánticos $\{m_j\}$, es decir

$$\vert C(n_1,\dots,n_i,\dots;t)\vert^2 = \sum \vert c(m_1,\dots,m_N;t)\vert^2 \;,$$

donde la sumatoria de la derecha debe abarcar todos los estados que generan el mismo conjunto de números de ocupación de la izquierda. Como las partículas son indistinguibles, los $N!/\prod_i(n_i!)$ sumandos son iguales, de modo que la condición anterior puede escribirse

$$\vert C(n_1,\dots,n_i,\dots;t)\vert^2 = \frac{N!}{\prod{\displaystyle_i}(n_i!)} \vert c(m_1,\dots,m_N;t)\vert^2\;.$$

Esta relación nos permite pasar del formalismo habitual a la representación de los números de ocupación. Esta última es comúnmente referida como “segunda cuantización”.

En casi todos los casos de interés los $n_\ell$ son infinitos, ya que el número de niveles accesibles a una partícula también lo es. Por supuesto, en cada estado, sólo algunos $n_\ell$ serán distintos de cero, ya que debe satisfacerse la condición

$$\sum_\ell n_\ell = N \;.$$