Partículas de Maxwell-Boltzmann

La expresión (18) puede factorizarse fácilmente, pues se trata de una suma sobre índices independientes sobre la exponencial de una sumatoria, obteniendo

$$Z_\mu^{\rm (MB)}(T,V) = \prod_{\ell=0}^\infty \exp \left[ e^{-\beta (\epsilon_\ell-\mu)} \right] \;.$$

A partir de aquí, el gran potencial resulta

$$\Omega_{\rm MB}(T,V,\mu) = -kT \ln Z_\mu^{\rm (MB)}(T,V) = -kT \sum_{\ell=0}^\infty e^{-\beta (\epsilon_\ell-\mu)} \;.$$

Para $V$ suficientemente grande (límite termodinámico), la distribución de estados se hace continua, pues el espaciamiento de los autovalores de ${p}$$_\ell$ permitidos es inversamente proporcional a $V$, de modo que las sumatorias se convierten en integrales

$$\sum_\ell \; \to \; \frac{V}{(2\pi)^3}\int {\rm d}^3$$$$\mbox{\boldmath${k}$}$$$$= \frac V{h^3}\int {\rm d}^3$$$$\mbox{\boldmath${p}$}$$$$\;. %$$

La expresión para el gran potencial puede entonces escribirse

$$\Omega_{\rm MB}(T,V,\mu) = -\frac{kTV}{h^3} \int {\rm d}^3$$$$\mbox{\boldmath${p}$}$$$$\;e^{-\beta(\frac{p^2}{2m}-\mu)} = -\frac{kTV}{h^3} 4\pi \int_0^\infty {\rm d}p\;p^2 e^{-\beta(\frac{p^2}{2m}-\mu)} \;,$$

es decir

$$\Omega_{\rm MB}(T,V,\mu) = - kTV e^{\beta\mu} \left(\frac{mkT}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2} \;.$$

Suele introducirse aquí la longitud de onda térmica

$$\lambda \equiv \sqrt{\frac{2\pi\hbar^2}{mkT}} \;,$$

que mide el “desparramo” de la función de onda de las partículas. Un ejercicio muy loable es comparar esta magnitud con la longitud de onda de De Broglie. Si $\lambda$ es mucho menor que el espaciamiento medio entre partículas, todas las estadísticas predicen los mismos resultados: al no haber solapamientos de las funciones de onda individuales, no influye la indistinguibilidad de las partículas en la física del sistema.

Utilizando esta definición, la expresión para el gran potencial resulta

$$\Omega_{\rm MB}(T,V,\mu) = - \frac{kTV e^{\beta\mu}}{\lambda^3} \;.$$

Esta identidad puede tomarse como relación fundamental, de la que pueden derivarse las diferentes ecuaciones de estado. Por ejemplo, para el número medio de partículas tenemos

$$\langle N \rangle = -\left(\frac{\partial\Omega}{\partial\mu}\rig... ...(\frac{mkT}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2} = \frac{V e^{\beta\mu}}{\lambda^3} \;.$$

Despejando el potencial químico de esta igualdad, se obtiene

$$\mu = kT \ln \left(\frac{\langle N \rangle}V \lambda^3\right) \;.$$

Para la entropía tenemos

$$S = -\left(\frac{\partial\Omega}{\partial T}\right)_{V,\mu} = \l... ...- k \langle N \rangle \ln\left(\frac{\langle N \rangle}V \lambda^3\right)\;.$$

Reobtenemos de este modo la cautivante ecuación de Sackur-Tetrode.

Finalmente, para la presión del gas resulta

$$P = -\left(\frac{\partial\Omega}{\partial V}\right)_{T,\mu} = \frac{kT e^{\beta\mu}}{\lambda^3} = \frac{\langle N \rangle kT}V \;.$$

Afortunadamente, los resultados son los mismos que predijimos en otras ocasiones con la misma convicción.