ELIPSE

Ecuación en el sitema primado:

$$\left( \frac{x'}{a} \right)^2 + \left( \frac{y'}{b} \right)^2 = 1$$

$$\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = ... ...ight) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$$

$$x'^2 = x^2 \,\cos^2 \alpha + y^2 \,\mbox{sen}^2 \alpha + 2 \,x \,y \;\mbox{sen} \alpha \,\cos \alpha$$

$$y'^2 = x^2 \,\mbox{sen}^2 \alpha + y^2 \,\cos^2 \alpha - 2 \,x \,y \;\mbox{sen} \alpha \,\cos \alpha$$

Ecuación en el sistema no primado:

$$x^2 \left( \left( \frac{\cos \alpha}{a} \right)^2 + \lef... ...} 2 \alpha \left( -\frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2} \right) = 1$$

$$x^2 (a^2 \;\mbox{sen}^2 \alpha + b^2 \,\cos^2 \alpha) + ... ...alpha) - x \,y \;\mbox{sen} 2 \alpha \;(a^2 - b^2) = a^2 b^2$$ (1)

$\bullet$ Valor extremo de y: B

$$2 \,x \,(a^2 \;\mbox{sen}^2 \alpha + b^2 \,\cos^2 \alpha) +... ...pha) - (y + x \,y_x) \;\mbox{sen} 2 \alpha \;(a^2 - b^2) = 0$$

$$y_x=0 \;\Longrightarrow y \;\;\mbox{sen} 2 \alpha \;(a^2 - ... ... = 2 \,x \;(a^2 \;\mbox{sen}^2 \alpha + b^2 \,\cos^2 \alpha)$$

$$x_B = \frac{1}{2} \;\frac{\mbox{sen} 2 \alpha \;(a^2 - b^2)} {(a^2 \;\mbox{sen}^2 \alpha + b^2 \,\cos^2 \alpha)} \,\; B$$

$\bullet$ Valor extremo de x: A

$$2 \,x \,x_y \,(a^2 \;\mbox{sen}^2 \alpha + b^2 \,\cos^2 \al... ...pha) - (x + y \,x_y) \;\mbox{sen} 2 \alpha \;(a^2 - b^2) = 0$$

$$x_y=0 \;\Longrightarrow x \;\;\mbox{sen} 2 \alpha \;(a^2 - ... ... = 2 \,y \;(b^2 \;\mbox{sen}^2 \alpha + a^2 \,\cos^2 \alpha)$$

$$y_A = \frac{1}{2} \;\frac{\mbox{sen} 2 \alpha \;(a^2 - b^2)} {(b^2 \;\mbox{sen}^2 \alpha + a^2 \,\cos^2 \alpha)} \,\; A$$

Cálculos auxiliares:

$$a^2 \;\mbox{sen}^2 \alpha + b^2 \,\cos^2 \alpha = b^2 + (a^2 - b^2) \;\mbox{sen}^2 \alpha$$

$$b^2 \;\mbox{sen}^2 \alpha + a^2 \,\cos^2 \alpha = b^2 + (a^2 - b^2) \,\cos^2 \alpha$$

$$(a^2 \;\mbox{sen}^2 \alpha + b^2 \,\cos^2 \alpha) \; (b^2 \;\mbox... ...\cos^2 \alpha) = a^2 \,b^2 + \frac{1}{4} \,(a^2 - b^2)^2 \;\mbox{sen}^2 2\alpha$$

$$(a^2 \;\mbox{sen}^2 \alpha + b^2 \,\cos^2 \alpha) \; (b^2 \;\mbox... ...a + a^2 \,\cos^2 \alpha) - (a^2 - b^2)^2 \;\mbox{sen}^2 2\alpha = 4 \;a^2 \,b^2$$

Resulta entonces:

$$A^2 = b^2 \;\mbox{sen}^2 \alpha + a^2 \,\cos^2 \alpha$$

$$B^2 = a^2 \;\mbox{sen}^2 \alpha + b^2 \,\cos^2 \alpha$$

$$a^2 \;\mbox{sen}^2 \alpha + b^2 \,\cos^2 \alpha = \frac{1}{A^2} \; \left( a^2 \,b^2 + \frac{1}{4} \,(a^2 - b^2)^2 \;\mbox{sen}^2 2\alpha \right)$$

$$b^2 \;\mbox{sen}^2 \alpha + a^2 \,\cos^2 \alpha = \frac{1}{B^2} \; \left( a^2 \,b^2 + \frac{1}{4} \,(a^2 - b^2)^2 \;\mbox{sen}^2 2\alpha \right)$$

Substituyendo en (1):

$$\left( \frac{x}{A} \right)^2 + \left( \frac{y}{B} \right)... ...2 \,b^2 + \frac{1}{4} \,(a^2 - b^2)^2 \;\mbox{sen}^2 2\alpha}$$ (2)

Definiendo: $H = \displaystyle \frac{A^2-B^2}{AB}$:

$$A^2-B^2 = (a^2 - b^2) \,\cos 2\alpha$$

$$A^2 B^2 = a^2 \,b^2 + \frac{1}{4} \,(a^2 - b^2)^2 \;\mbox{sen}^2 2\alpha$$

$$\frac{A^2-B^2}{A^2 B^2} = \frac{(a^2 - b^2) \;\mbox{sen} 2\alpha} {a^2 \,b^2 + \frac{1}{4} ... ... b^2)^2 \;\mbox{sen}^2 2\alpha} \;\frac{1}{\mbox{tg} \,2 \alpha} = \frac{H}{AB}$$

$$1 - \frac{1}{4} \,H^2 \,\mbox{tg}^2 \,2 \alpha = \frac{a^2 \,b^2} {a^2 \,b^2 + \frac{1}{4} \,(a^2 - b^2)^2 \;\mbox{sen}^2 2\alpha}$$

Entonces definiendo: $\cos\epsilon = \displaystyle\frac{1}{2} \;H \;\mbox{tg} \,2 \alpha$, resulta que la ecuación (2) puede escribirse según:

Nota: Ver Polarización Elíptica en: Hecht, Optics, Chap.8.


Aplicación: Propagación del rayo extraordinario en una placa plano-paralela de calcita
Una sección principal de un cristal de calcita contine el eje óptico, el cual forma con la cara de incidencia un ángulo $\alpha = 45.5^{\circ}$. Bajo incidencia normal sobre el cristal, el rayo ordinario (cuya polarización es normal a la sección principal) no se refracta, mientras que el rayo extraordinario (cuya polarización está sobre la sección principal) encuentra un medio inhomogéneo para el cual la velocidad de propagación a lo largo del eje óptico ($v_{\perp}$) es menor que la velocidad en la dirección perpendicular al eje ($v_{\parallel}$). La dirección resultante para el rayo extraordinario forma un ángulo $\phi$ con la normal a la cara, tal que se cumple:

$$\mbox{tg} \,\phi = \frac{y_A}{A}$$

Tomando $x = A$ en la ecuación de la elipse:

$$\left( \frac{y_A}{B} \right)^2 - 2 \;\frac{y_A}{B} \,\cos \epsilon + 1 - \mbox{sen}^2 \,\epsilon = 0$$

De lo cual resulta:

$$\frac{y_A}{B} = \cos \epsilon$$

y por lo tanto:

$$\mbox{tg} \,\phi = \frac{B}{A} \cos \epsilon = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{B^2}{A^2} \right) \mbox{tg} \,2 \alpha$$

Sustituyendo según:

$$a = v_{\parallel} = \frac{c}{1.4864} \qquad b = v_{\perp} = \frac{c}{1.6584}$$

resulta finalmente: