Simulación en Computadora

Tarea: Escribir un programa que simule en la computadora la técnica mencionada de arrojar la aguja. Esto resulta mucho más cómodo que efectivamente dejar caer una aguja sobre una hoja rayada. Notar que el problema es equivalente a sortear uniformente la posición del centro de la aguja en un intervalo de ancho $2$, y sortear el ángulo que forma la aguja de largo $1$ con la dirección de la recta que contiene al intervalo de interés, uniformemente entre $0$ y $\pi$. Para cada prueba verificar a continuación si la proyección de la aguja sobre la recta mencionada, interseca algún extremo del intervalo.

Las variables que se sortean uniformemente son: $r \in [0,2]$ y $\theta \in [0, \pi]$ [1]. En consecuencia las ordenadas de los extremos de la aguja resultan:

$$y_a = r + \frac{1}{2} \, \cos \theta \qquad y_b = r - \frac{1}{2} \, \cos \theta$$

Se considera que se produce intersección si $y_{a,b} \leq 0$ ó $y_{a,b} \geq 2$. Claramente, no existirá intersección si  $r \in (1/2, 3/2)$. En la siguiente tabla se registra los resultados de una simulación realizada en FORTRAN. En la primer columna registra el número de veces que se sorteó la posición de la aguja y la segunda columna registra la inversa de la frecuencia con la que los extremos de aguja salen del intervado de ancho $2$.

$n$	$\pi$	$\sigma_{P}$
1.000	3.0120482	0.15
10.000	3.1113877	0.046
100.000	3.1401118	0.015
1.000.000	3.1462569	0.0046
10.000.000	3.1408347	0.0015
100.000.000	3.1425390	0.00046
1.000.000.000	3.1418059	0.00015

Nota: Para realizar la simulación el programa utiliza el valor de $\pi$ que quiere estimarse. Esto sin embargo, no constituye un fraude dado que sólo se lo utiliza para simular el proceso de arrojar la aguja, no en el cálculo del número en sí.