Estimación del error de la simulación

Tarea: Estimar el valor de $n$ (número de pruebas) necesario para asegurar el valor de $\pi$ con cinco cifras significativas (es decir que el error afecte recién al sexto decimal).

El estimador insesgado de la frecuencia con la cual la aguja corta los renglones es $F = Y/n$, donde $Y$ es el número de veces que se produce intersección al realizar $n$ pruebas al azar. Resulta:

$$E(F) = p = \frac{1}{\pi} \qquad V(F) = \frac{p(1-p)}{n}$$

De esta forma el estimador de $\pi$ es la variable aleatoria $P=1/F$. En general para una variable $P = H(F)$, conociendo $E(F)=\mu$ y $V(F) = \sigma^2$, se pueden utilizar las fórmulas aproximadas

$$E(P) \approx H(\mu) \qquad V(P) \approx \left( H'(\mu) \right)^2 \, \sigma^2$$

Resulta entonces $V(P) \approx V(F) / p^4$ y en consecuencia

$$\sigma_P \approx \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \frac{1}{p^2} = \sqrt{\frac{\pi^2(\pi-1)}{n}} \approx \frac{4.6}{\sqrt{n}}$$

En la última columna de la tabla anterior se consignan los valores de $\sigma_P$ correspondientes a cada valor de $n$. En particular si se desea $\sigma_P=10^{-6}$ resulta $n \approx 2,116 \times 10^{13}$.