$E>V_o$ .

En clásica, una partícula incidente desde la izquierda atraviesa el escalón cambiando su velocidad para conservar la energía. En cuántica en cambio, veremos que existe probabilidad de transmisión y también de reflexión; este último es un efecto netamente cuántico que aparece en virtud de la naturaleza ondulatoria de las partículas. Ya sabemos que las soluciones son ondas planas

$$\begin{array}{lll} \psi_{\rm I}(x)=A\,e^{ikx}+B\,e^{-ikx}\;... ...=\frac{\sqrt{2m(E-V_o)}}{\hbar} & \mbox{si } x>0\;. \end{array}$$

En el caso particular de tener partículas incidentes desde la izquierda, $D\!=\!0$, ya que no hay partículas que puedan originarse desde la derecha. La ecuación de Schrödinger (18) indica que $\psi''\,$ tiene una discontinuidad finita en $x\!=\!0$, de modo que $\psi'\,$ presenta un quiebre; aunque, como siempre, $\psi\,$ debe ser continua, ya que la densidad de probabilidad $\vert\psi\vert^2\,$ también debe serlo. Sin pérdida de generalidad tomamos $A\!=\!1$, y el empalme de $\psi\,$ y $\psi'\,$ se resume en las identidades

$$1+B = C$$   y$$\qquad ik(1-B) = iqC \;,$$

de donde despejamos

$$B = \frac{k-q}{k+q}$$   y$$\qquad C = \frac{2k}{k+q} \;.$$

Para comprender el significado de los coeficientes $B\,$ y $C$, evaluamos primero las corrientes de densidad de probabilidad

$$j = - \frac{i\hbar}{2m} \Bigl(\, \psi^* \psi' - \psi'^*\,\psi\, \Bigr)$$

en ambas regiones, obteniendo (ejercicio)

$$j_{\rm I}(x) = \frac{\hbar k}{m}(1-\vert B\vert^2) \equiv j_{\rm ... ...quad j_{\rm II}(x) = \frac{\hbar q}{m}\vert C\vert^2 \equiv j_{\rm trans} \;.$$

Podemos verificar fácilmente que se cumple $j_{\rm I}\!=\!j_{\rm II}$, es decir, se conserva la corriente de densidad de probabilidad. Los cocientes

$$R = \frac{j_{\rm refl}}{j_{\rm inc}} = \vert B\vert^2$$   y$$\quad T = \frac{j_{\rm trans}}{j_{\rm inc}} = \frac{q}{k}\vert C\vert^2$$

representan respectivamente las probabilidades de que la partícula sea reflejada y transmitida. Aquí notamos que $R\neq 0$, al contrario de lo que ocurre en la física clásica en un análisis similar. En el caso en que $E\to\infty$, $B\to 0\,$ y $C\to 1$, es decir, se recupera el comportamiento predicho por la clásica.

Es interesante destacar que $B>0$, lo que significa que la onda incidente y la reflejada están en fase. Si modificamos las expresiones para considerar el caso de $V_o<0$, $B\,$ se hace negativo, lo que representa un desfasaje de $\pi\,$ en la onda reflejada, o bien, que evolucionará en oposición de fase con la onda incidente.