Partículas idénticas

En un átomo conviven típicamente varios electrones. La función de onda conjunta $\psi(\bm{r}_1,\bm{r}_2,\dots,\bm{r}_N)\,$ para la descripción de un sistema de $N\,$ partículas idénticas debe permitirnos evaluar la probabilidad conjunta de que la partícula 1 se encuentre en un entorno diferencial $\,{\rm d}^3r_1\,$ de $\bm{r}_1\,$, la partícula 2 se encuentre en un entorno diferencial $\,{\rm d}^3r_2\,$ de $\bm{r}_2\,,\dots\,$ y la partícula $N\,$ se encuentre en un entorno diferencial $\,{\rm d}^3r_N\,$ de $\bm{r}_N\,$, mediante $\vert\psi(\bm{r}_1,\bm{r}_2,\dots,\bm{r}_N)\vert^2\,{\rm d}^3r_1\,{\rm d}^3r_2\dots\,{\rm d}^3r_N\,$. También es posible representarla en términos del conjunto de números cuánticos $\bm{\alpha}\,$ que describen el estado de cada partícula; por ejemplo en el caso del átomo de hidrógeno $\bm{\alpha}\!=\!(n,\ell,m)\,$ para cada autoestado. La función de onda conjunta entonces se representa en estos términos como $\vert\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\dots,\bm{\alpha}_N\rangle$.

En principio la función de onda conjunta necesaria para esta descripción se puede pensar como un elemento del espacio de Hilbert producto directo de los diferentes espacios de Hilbert individuales; sin embargo, el hecho de que sean partículas idénticas hace que físicamente no sea posible cualquiera de las funciones construidas de este modo.

Para poder avanzar en este tema, definimos el permutador $\hat{\Pi}_{ij}\,$ como el operador que intercambia la partícula $i\,$ con la partícula $j\,$, es decir

$$\hat{\Pi}_{ij} \vert\dots,\bm{\alpha}_i,\dots,\bm{\alpha}_j,\dots\rangle = \vert\dots,\bm{\alpha}_j,\dots,\bm{\alpha}_i,\dots\rangle \;.$$

Claramente $\hat{\Pi}_{ij}^2\!=\!\hat{I}\,$, con autovalores $\pm 1$. Como el hamiltoniano para un sistema de partículas idénticas debe ser simétrico ante permutaciones, debe cumplirse

$$\hat{\Pi}_{ij}\,\hat{H} = \hat{H}\,\hat{\Pi}_{ij} \;,$$

es decir, $\hat{\Pi}_{ij}\,$ y $\hat{H}\,$ conumtan. Cualquier elemento $\hat{\Pi}\,$ del grupo de permutaciones posibles (entre más de dos partículas) puede escribirse como producto de intercambios entre pares $\hat{\Pi}_{ij}\,$; decimos que $\hat{\Pi}\,$ es par si se logra mediante un número par de intercambios $\hat{\Pi}_{ij}\,$, e impar en caso contrario.

Notemos que si $\psi\,$ es autofunción de $\hat{H}\,$, es decir $\hat{H}\psi\!=\!E\,\psi\,$, $\hat{\Pi}\psi\,$ también es autofunción de $\hat{H}\,$ con el mismo autovalor $E$

$$\hat{H}\bigl(\hat{\Pi}\psi\bigr) = \hat{\Pi}\bigl(\hat{H}\psi\bigr) = E\bigl(\hat{\Pi}\psi\bigr) \;.$$

En realidad cualquier operador físico $\hat{S}\,$ asociado a una variable dinámica debe ser simétrico ante permutaciones, es decir, debe conmutar con cualquier $\hat{\Pi}$, ya que el resultado de una determinación experimental no debe alterarse pues las partículas son idénticas. Esto puede demostrarse aprovechando el hecho de que las $\hat{\Pi}\,$ son unitarias (ejercicio)

$$\langle\hat{S}\rangle_{\hat{\Pi}\psi} = \langle\hat{\Pi}\psi\ver... ...angle = \langle\psi\vert\hat{S}\psi\rangle = \langle\hat{S}\rangle_{\psi} \;.$$

Estas consideraciones conducen a introducir un nuevo postulado en la cuántica, a menudo llamado también “segunda cuantización”

Las partículas regidas por funciones de onda totalmente simétricas se denominan bosones porque obedecen a la estadística de Bose-Einstein (son todas las partículas con espín entero). En cambio las partículas descriptas por funciones de onda totalmente antisimétricas se denominan fermiones y obedecen a la estadística de Fermi-Dirac (partículas con espín semientero, como los electrones, protones, neutrones, etc.).

En el caso de fermiones, es interesante evaluar la situación en que dos partículas se encuentren en el mismo estado cuántico. Por ejemplo, si las partículas $i\,$ y $j\,$ están en el mismo estado $\bm{\sigma}\,$, al aplicar $\hat{\Pi}_{ij}\,$ la función de onda debe cambiar de signo

$$\hat{\Pi}_{ij}\vert\dots,\bm{\alpha}_i\!=\!\bm{\sigma},\dots,\bm{... ...lpha}_i\!=\!\bm{\sigma},\dots,\bm{\alpha}_j\!=\!\bm{\sigma}, \dots\rangle \;,$$

de modo que la función de onda debe ser idéntica a sí misma cambiada de signo, lo cual sólo puede cumplirse si

$$\vert\dots,\bm{\alpha}_i\!=\!\bm{\sigma},\dots,\bm{\alpha}_j\!=\!\bm{\sigma}, \dots\rangle = 0 \;.$$

Este resultado se conoce como principio de exclusión de Pauli: no puede haber dos fermiones en el mismo estado cuántico. En el caso de los electrones atómicos, los orbitales se van completando sin que se repitan todos los números cuánticos que describen cada autoestado.