Representación de Heisenberg

En esta representación los vectores de estado no cambian en el tiempo (siempre con hamiltonianos independientes del tiempo)

$$\left\vert \psi(t) \right\rangle _H = \hat{U}_t^\dagger\,\left\ve... ...hat{H}}\left\vert \psi(t) \right\rangle = \left\vert \psi(0) \right\rangle \;,$$

sino que son los operadores los que evolucionan. Por supuesto, en esta representación no hay una ecuación de Schrödinger, pues

$$\frac{\,{\rm d}\,}{\,{\rm d}t}\!\!{\rule{0em}{0.9em}}^{\displaystyle \left\vert \psi(t) \right\rangle _H} = 0 \;.$$

A partir de la representación de Schrödinger deducimos ahora la evolución para los operadores $\hat{A}_H\,$ en esta otra representación. Ya que los valores de expectación deben coincidir en ambas representaciones,

$$\left\langle\psi(t)\left\vert\hat{A}\right\vert\psi(t)\right\rang... ...A}_H \right\vert\psi(0)\right\rangle = \left\langle\hat{A}\right\rangle_H \;.$$

Como $\left\vert \psi(0) \right\rangle \!=\!\left\vert \psi(t) \right\rangle _H\,$, identificamos

$$\hat{A}_H(t) = e^{\frac{\mbox{\scriptsize $it$}}{\mbox{\scriptsiz... ...\mbox{\scriptsize $\hbar$}}\hat{H}} = \hat{U}_t^\dagger\hat{A}\,\hat{U}_t \;.$$

Si $\hat{A}\,$ no depende explícitamente del tiempo,

$$\frac{\,{\rm d}\,}{\,{\rm d}t}\!\!{\rule{0em}{0.9em}}^{\displayst... ...t{U}_t + \hat{U}_t^\dagger \hat{A}\,\frac{\partial\hat{U}_t^{}\!\!}{\partial t} = -\frac{1}{i\hbar} \hat{U}_{t}^{\dagger}\hat{H}\!\left(\hat{U}_t... ...\dagger\hat{A}\!\left(\hat{U}_t\, \hat{U}_t^\dagger\!\right) \hat{H}\,\hat{U}_t$$

$$= \frac{1}{i\hbar}\left[ \hat{A}_H(t)\left(\hat{U}_t^\dagger\hat{... ...[ \hat{A}_H(t),\hat{U}_t^\dagger\hat{H}\,\hat{U}_t \right]\rule{0em}{1.8em} \;.$$

Como $[\hat{H},\hat{U}_t]=0$, la “ecuación de movimiento” en la representación de Heisenberg resulta

$$\fbox{\ \ $\displaystyle\frac{\,{\rm d}\,}{\,{\rm d}t}\!\!{\rule{... ...1}{i\hbar} \left[ \hat{A}_H(t),\hat{H} \right]\;. \rule[-1.2em]{0em}{3em} $ }$$