Representación interacción

En este esquema, también llamado “representación de Dirac”, tanto los vectores de estado como los operadores asociados a observables evolucionan en el tiempo. En el hamiltoniano del sistema bajo estudio separamos la componente $\hat{H}_o\,$ independiente de $t\,$ de las contribuciones $\hat{V}(t)$ que dependen explícitamente de $t\,$

$$\hat{H} = \hat{H_o} + \hat{V}(t) \;.$$

Aquí los vectores de estado se definen de manera similar a lo realizado en la representación de Heisenberg

$$\left\vert \psi(t) \right\rangle _I = e^{\frac{\mbox{\scriptsize $it$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}\hat{H}_o}\left\vert \psi(t) \right\rangle \;,$$

de manera que para su evolución temporal tenemos

$$i\hbar\,\frac{\,{\rm d}\;}{\,{\rm d}t}\!\!{\rule{0em}{0.9em}}^{\d... ...\scriptsize $\hbar$}}\hat{H}_o}\, \hat{H}\left\vert \psi(t) \right\rangle \;.$$

Definiendo (de manera similar al caso anterior)

$$\hat{V}_I(t) = e^{\frac{\mbox{\scriptsize $it$}}{\mbox{\scriptsiz... ...)\,e^{-\frac{\mbox{\scriptsize $it$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}\hat{H}_o}\;,$$

vemos que

$$e^{\frac{\mbox{\scriptsize $it$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}\hat... ...t)\,e^{\frac{\mbox{\scriptsize $it$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}\hat{H}_o}\;.$$

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos la ecuación de Schrödinger en la representación interacción

$$\fbox{\ \ $ i\hbar\,\displaystyle\frac{\,{\rm d}\;}{\,{\rm d}t}\!... ...\hat{V}_I(t)\left\vert \psi(t) \right\rangle _I\;. \rule[-1.2em]{0em}{3em} $\ }$$ (41)

Podemos interpretar esta ecuación notando que en esta representación la definición de los vectores de estado involucra volver al estado en $t\!=\!0$ en la evolución causada solo por el término $\hat{H}_o\,$ del hamiltoniano: entonces el resto de la evolución queda contenida en el operador $\hat{V}_I\,$.

Todos los observables se transforman en esta representación de manera similar a la que notamos para $\hat{V}\,$, es decir

$$\hat{A}_I(t) = e^{\frac{\mbox{\scriptsize $it$}}{\mbox{\scriptsiz... ...}\,e^{-\frac{\mbox{\scriptsize $it$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}\hat{H}_o}\;,$$

de manera que cuando $\hat{A}\,$ no depende explícitamente del tiempo ( $\partial\hat{A}/\partial t\!=\!0$) obtenemos para la evolución temporal de las variables dinámicas una ecuación similar (parcialmente) a la de la representación de Heisenberg

$$\fbox{\ \ $\displaystyle\frac{\,{\rm d}\,}{\,{\rm d}t}\!\!{\rule{... ...}{i\hbar} \left[ \hat{A}_I(t),\hat{H_o} \right]\;. \rule[-1.2em]{0em}{3em} $\ }$$ (42)