Representación de Schrödinger

Este es el marco habitual en el que trabajamos: los vectores de estado evolucionan en el tiempo, pero los operadores asociados a las variables dinámicas no lo hacen (en general). La evolución de los vectores de estado está regida por la ecuación de Schrödinger

$$i\hbar\, \frac{\,{\rm d}\,}{\,{\rm d}t}\!\!{\rule{0em}{0.9em}}^{\displaystyle \ket{\psi(t)}} = \hat{H} \ket{\psi(t)} \;.$$

Ya vimos que para el caso de hamiltonianos independientes del tiempo podemos utilizar el operador de propagación temporal

$$\hat{U}_t = e^{-\frac{\mbox{\scriptsize $it$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}\hat{H}}$$

para expresar la evolución de un estado a partir del ket en $t\!=\!0$

$$\ket{\psi(t)} = e^{-\frac{\mbox{\scriptsize$it$}}{\mbox{\scriptsize$\hbar$}}\hat{H}}\ket{\psi(0)} = \hat{U}_t\,\ket{\psi(0)} \;,$$ (46)

o bien a partir del vector de estado en algún $t_i$

$$\ket{\psi(t)} = \hat{U}(t,t_i)\ket{\psi(t_i)} = e^{-\frac{\mbox{\... ...ptsize $i(t\!-\!t_i)$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}\hat{H}}\ket{\psi(t_i)} \;.$$