Perturbaciones dependientes del tiempo

Consideramos entonces fenómenos que se describen con hamiltonianos $\hat{H}\!=\!\hat{H_o}\!+\!\hat{V}(t)$ que pueden separarse en un término independiente del tiempo y otro cuya contribución es pequeña, en algún sentido que se aclarará a medida que maduremos. Si conocemos las soluciones para $\hat{H}_o\,$

$$\hat{H}_o\left\vert n \right\rangle = E_n\left\vert n \right\rangle \;,$$

podemos pensar que durante cierto intervalo actúa una perturbación externa $\hat{V}(t)$ que modifica la evolución que tenía el sistema, según

$$i\hbar\, \frac{\,{\rm d}\,}{\,{\rm d}t}\!\!{\rule{0em}{0.9em}}^{\... ...} = \left[ \hat{H}_o + \hat{V}(t) \right] \left\vert \psi(t) \right\rangle \;.$$

Durante ese intervalo, el sistema puede absorber o emitir energía, de manera que se dará una transición que llevará al sistema del estado inicial $\left\vert i \right\rangle \,$ al estado final $\left\vert f \right\rangle \,$ (autoestados de $\hat{H}_o$). La teoría de perturbaciones dependientes del tiempo provee las probabilidades de que estas transiciones $\left\vert i \right\rangle \to\left\vert f \right\rangle \,$ ocurran (por supuesto, puede haber transiciones hacia varios estados finales $\left\vert f \right\rangle \,$ compatibles con las condiciones de nuestro problema).

El objetivo entonces no es resolver la ecuación de Schrödinger, sino inferir a partir de ella el conjunto de probabilidades. Para encontrar cómo calcularlas nos valdremos de las ecuaciones que gobiernan la evolución del sistema en la representación interacción. En particular, sabemos que siempre podemos escribir

$$\rule{14em}{0em}\left\vert \psi(t) \right\rangle = \hat{U}(t,t_i) \left\vert \psi(t_i) \right\rangle \qquad \Bigl($$   aunque ahora$$\quad \hat{U}(t,t_i) \neq e^{-\frac{\mbox{\scriptsize $i(t\!-\!t_i)$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}\hat{H}} \Bigr) \;,$$

o bien, en la representación interacción

$$\left\vert \psi(t) \right\rangle _I = \hat{U}_I(t,t_i) \left\vert \psi(t_i) \right\rangle _I \;.$$

Utilizando las definiciones anteriores,

$$\left\vert \psi(t) \right\rangle _I = e^{\frac{\mbox{\scriptsize... ...box{\scriptsize $\hbar$}}\hat{H}_o} \left\vert \psi(t_i) \right\rangle _I \;,$$

de modo que identificamos

$$\hat{U}_I(t,t_i) = e^{\frac{\mbox{\scriptsize $it$}}{\mbox{\scri... ...e^{-\frac{\mbox{\scriptsize $it_i$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}\hat{H}_o} \;.$$

Sustituyendo $\left\vert \psi(t) \right\rangle _I = \hat{U}_I(t,t_i) \left\vert \psi(t_i) \right\rangle _I\,$ en (41), es directo mostrar que (ejercicio)

$$i\hbar\frac{\,{\rm d}\,}{\,{\rm d}t}\!\!{\rule{0em}{0.9em}}^{\displaystyle\hat{U}_I(t,t_i)} = \hat{V}_I(t)\;\hat{U}_I(t,t_i) \;.$$

Esta relación equivale a la ecuación integral

$$\hat{U}_I(t,t_i) = \hat{I} - \frac{i}{\hbar} \int_{t_i}^t \,{\rm d}t'\; \hat{V}_I(t')\;\hat{U}_I(t',t_i) \;.$$ (43)

Cuando $\hat{V}_I(t)\,$ es pequeña, esta ecuación puede resolverse iterativamente: a orden 0, es decir considerando $\hat{V}_I\!=\!0\,$, obtenemos $\hat{U}_I(t,t_i)\!=\!\hat{I}\,$; introduciendo esta estimación en la integral de (43) obtenemos una expresión a primer orden

$$\hat{U}_I^{(1)}(t,t_i) = \hat{I} - \frac{i}{\hbar} \int_{t_i}^t\!\! \,{\rm d}t'\; \hat{V}_I(t') \;.$$

Otra vez, sustituyendo esta expresión en el miembro de la derecha de (43) tenemos la estimación de orden 2, y continuando de este modo arribamos a la serie de Dyson

$$\hat{U}_I(t,t_i) = \hat{I} - \frac{i}{\hbar} \int_{t_i}^t\!\! \,... ... \hat{V}_I(t_1) \int_{t_i}^{t_1}\!\! \,{\rm d}t_2\;\hat{V}_I(t_2) + \cdots \;.$$

Mientras se aplica la perturbación, al instante $t\,$ el estado del sistema (en la representación de Schrödinger) puede escribirse como

$$\left\vert \psi(t) \right\rangle = \sum_n c_n(t)\left\vert n \right\rangle = \hat{U}(t,t_i) \left\vert \psi(t_i) \right\rangle \;,$$

donde $\vert c_n(t)\vert^2$ son justamente las probabilidades de que el sistema se encuentre en el estado $\left\vert n \right\rangle$, y estos coeficientes se obtienen mediante el procedimiento habitual

$$c_n(t) = \left\langle n \,\vert\, \psi(t) \right\rangle = \bigl\l... ...$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}\hat{H}_o} \bigr\vert\psi(t_i)\bigr\rangle \;.$$

En el caso particular en que el estado inicial $\left\vert \psi(t_i) \right\rangle$ sea uno de los autoestados $\left\vert i \right\rangle$ de $\hat{H}_o\,$

$$c_n(t) = \bigl\langle n\bigl\vert e^{-\frac{\mbox{\scriptsize $it... ...}}} \, \bigl\langle n\bigl\vert \hat{U}_I(t,t_i) \bigr\vert i\bigr\rangle \;.$$

Entonces la probabilidad de transición $P_{if}(t)\,$ hacia un estado particular $\left\vert n \right\rangle \!=\!\left\vert f \right\rangle \,$ puede calcularse indistintamente mediante $\hat{U}\,$ o $\hat{U}_I\,$, pues

$$P_{if}(t) \equiv \vert c_f(t)\vert^2 = \left\vert\bigl\langle f\... ...\langle f\bigl\vert \hat{U}_I(t,t_i) \bigr\vert i\bigr\rangle\right\vert^2 \;.$$

Teniendo presente que

$$\left\langle f \right\vert\hat{V}_I(t)\left\vert \,i \right\rangl... ...ga_{fi}t} \left\langle f \right\vert\hat{V}(t)\left\vert \,i \right\rangle \;,$$

donde hemos definido $\omega_{ij}\equiv(E_i\!-\!E_j)/\hbar\,$, podemos recurrir a la serie de Dyson para reescribir

$$P_{if}(t) = \left\vert\bigl\langle f\bigl\vert \hat{U}_I(t,t_i) \bigr\vert i\bigr\rangle\right\vert^2 = \left\vert \left\langle f \,\vert\, i \right\rangle - \rule{0em}{... ... \, \left\langle f \right\vert\hat{V}(t')\left\vert \,i \right\rangle + \right.$$

$$\left.+ \left(-\frac{i}{\hbar}\right)^2 \sum_n \int_{t_i}^t\!\!\,... ... n \right\vert\hat{V}(t_2)\left\vert i \right\rangle + \cdots \right\vert^2 \;.$$

Como los estados $\{\left\vert j \right\rangle \}$ forman una base ortogonal, para $i\!\neq\!f\,$ las probabilidades de transición a primer orden resultan

$$\fbox{\ \ $\displaystyle P_{if}(t) = \left\vert -\frac{i}{\hbar} ... ...\right\rangle e^{i\omega_{fi}t'} \right\vert^2 \;. \rule[-1.2em]{0em}{3em} $\ }$$ (44)

Para la gran mayoría de los problemas que se plantean en física atómica y nuclear, es suficiente la aproximación de primer orden (44), pues las correcciones de orden superior decaen muy rápidamente.