Perturbación constante

Consideremos el caso de una perturbación $\hat{V}\,$ que no depende de $t\,$, aunque solo actúa durante cierto intervalo $0\le t\le\tau\,$. Las probabilidades de transición en este caso son

$$P_{if}(t\!>\!\tau) = \frac{1}{\hbar^2} \left\vert\left\langle f \... ...{(\hbar\omega_{fi})^2} \, \sen ^2\!\left(\frac{\omega_{fi}\tau}{2}\right) \;.$$

Como función de $\omega_{fi}\,$ esta probabilidad oscila y decae a medida que $\omega_{fi}\,$ crece: el sistema tiene mayor probabilidad de pasar a un estado con $E_f\simeq E_i\,$. En ese entorno donde $\omega_{fi}\,$ es muy pequeña, $P_{if}\,$ crece con $\tau\,$ y el pico central se estrecha; puede verse que para $\tau\,$ suficientemente grandes (ejercicio)

$$\frac{\sen ^2(at)}{\pi a^2\tau} \simeq \delta(a) \qquad (\tau\to\infty) \;,$$

de manera que

$$\fbox{\ \ $P_{if}(\tau\to\infty) = \displaystyle\frac{2\pi\tau}{\... ... i \right\rangle \right\vert^2 \delta(E_f-E_i)\;. \rule[-1.2em]{0em}{3em} $ }$$

La probabilidad de transición por unidad de tiempo o tasa de transición resulta en este caso $$\fbox{\ \ $\Gamma_{if} = \displaystyle\frac{P_{if}(\tau)}{\tau} =... ... i \right\rangle \right\vert^2 \delta(E_f-E_i)\;. \rule[-1.2em]{0em}{3em} $ }$$ La delta de Dirac garantiza que se conserve la energía: para $\tau\,$ suficientemente grandes solo son posibles las transiciones entre estados con la misma energía: en estas transiciones el sistema claramente no absorbe ni emite radiación.

 

En el caso en que el sistema puede pasar del estado inicial $\left\vert i \right\rangle \,$ a un continuo de estados $\left\vert f \right\rangle$, la descripción debe involucrar la densidad de estados finales $\rho(E_f)$, definida como es habitual, de manera que $\rho(E_f)\,{\rm d}E_f\,$ sea el número de estados con energías entre $E_f\,$ y $E_f\!+\!\,{\rm d}E_f\,$. La tasa de transición total se obtiene a partir de la expresión anterior

$$W_{if} = \int \frac{P_{if}(\tau)}{\tau}\,\rho(E_f)\,{\rm d}E_f = ... ...t i \right\rangle \right\vert^2 \int \,{\rm d}E_f\;\rho(E_f)\delta(E_f-E_i)\;,$$

es decir

$$\fbox{\ \ $W_{if} = \displaystyle \frac{2\pi}{\hbar} \left\vert\... ...ft\vert i \right\rangle \right\vert^2 \rho(E_i)\;. \rule[-1.2em]{0em}{3em} $ }$$

Esta relación es conocida como regla de oro de Fermi, y se aplica en numerosas situaciones.