Perturbación armónica

Consideramos ahora la perturbación

$$\hat{V}(t) = \hat{v}\,e^{i\omega t} + \hat{v}^\dagger e^{-i\omega t} \;,$$

donde $\omega\,$ es una constante positiva y $\hat{v}\,$ es un operador que no depende de $t\,$. Introduciendo esta perturbación en la expresión para las probabilidades de transición tenemos

$$P_{if}(t) = \frac{1}{\hbar^2} \left\vert \left\langle f \right\ve... ...rangle \int_0^t\!\,{\rm d}t'\, e^{i(\omega_{fi}-\omega)t'} \right\vert^2 \;.$$

De manera análoga al caso de la perturbación constante, para $t\,$ suficientemente grandes cada integral representa una distribución estrecha alrededor de $-\omega_{fi}\,$ y $+\omega_{fi}\,$, respectivamente; esto implica que al desarrollar el cuadrado los términos cruzados no aportan a la suma, de modo que

$$P_{if}(t) = \frac{4}{\hbar^2} \left[ \Bigl\vert\left\langle f \ri... ...sen ^2\!\frac{(\omega_{fi}-\omega)t}{2}~}{(\omega_{fi}-\omega)^2} \right] \;,$$

y al tomar el límite $t\to\infty$ obtenemos para la tasa de transición

$$\fbox{\ \ $\Gamma_{if} = \displaystyle\frac{P_{if}(t)}{t} = \frac... ...ngle \Bigr\vert^2 \delta(E_f-E_i-\hbar\omega) \;. \rule[-1.2em]{0em}{3em} $ }$$

Esta relación indica que solo hay transiciones hacia estados en los que $E_f\!=\!E_i\!-\!\hbar\omega\,$ o bien $E_f\!=\!E_i\!+\!\hbar\omega\,$. En el primer caso el sistema se encuentra originalmente en un estado excitado $\left\vert i \right\rangle \,$ y la transición se acompaña con la emisión de un cuanto de energía $\hbar\omega$, es decir la perturbación induce la relajación del sistema y se lleva un fotón con la misma frecuencia: este proceso se denomina emisión estimulada. En el segundo caso el sistema absorbe un fotón que lo lleva del estado inicial a un estado excitado, aumentando su energía en $\hbar\omega$. Por lo tanto los términos con $e^{i\omega t}\,$ y $e^{-i\omega t}\,$ respectivamente se asocian con la emisión y la absorción de un fotón de energía $\hbar\omega$.

Resumiendo entonces, una perturbación periódica de frecuencia $\omega\,$ le transfiere o le extrae al sistema un fotón de energía $\hbar\omega$, en claro contraste con la perturbación constante que vimos en la sección anterior, que no agrega ni saca energía del sistema afectado. En particular, la perturbación constante puede verse como una perturbación armónica con $\omega\!=\!0$.