Interacción de átomos con la radiación

Este es uno de los más importantes campos de la física donde se aplica la teoría de perturbaciones dependientes del tiempo, y cobra particular relevancia ya que permite probar la validez de los diferentes modelos para átomos multielectrónicos. Retomamos entonces la expresión para el hamiltoniano correspondiente a un electrón atómico en ausencia de perturbaciones

$$\hat{H}_o = \frac{\hat{p}^2}{2\mu} + V_o(r) \;,$$

donde $V_o\,$ representa la interacción del electrón con el núcleo y con el resto de los electrones atómicos. Cuando se aplica radiación electromagnética con potencial vector $\bm{A}(\bm{r},t)\,$ y potencial escalar $\phi(\bm{r},t)\,$, ya vimos que el hamiltoniano asociado con la interacción con el campo es

$$\hat{H} = \frac{1}{2\mu} \left[\bm{\hat{p}}+\frac{e}{c}\bm{A}(\bm{r},t)\right]^2 - e\,\phi(\bm{r},t) + V_o(r) \;.$$

Esta expresión se simplifica si consideramos que, al no haber fuentes electrostáticas, $\,\phi\!=\!0\,$. Por otro lado, $\bm{\hat{p}}\cdot\bm{A}=\bm{A}\cdot\bm{\hat{p}}-i\hbar\nabla\cdot\bm{A}\,$, y eligiendo el gauge de Coulomb $\nabla\cdot\bm{A}\!=\!0\,$. Además habíamos mencionado que para átomos aislados el término con $\bm{A}^2\,$ es despreciable, con lo cual podemos escribir

$$\hat{H} = \hat{H}_o+\frac{e}{\mu c}\bm{A}\cdot\bm{\hat{p}} = \hat{H}_o+\hat{W}(t) \;,$$

donde la perturbación $\hat{W}(t)\!=\!(e/\mu c)\bm{A}\cdot\bm{\hat{p}}\,$ representa entonces la interacción del electrón con la radiación aplicada.

Para una onda plana de frecuencia $\omega\,$, vector de onda $\bm{k}\,$ y polarización definida por el vector unitario $\hat{\epsilon}\,$, contenida en un volumen $V$, un tratamiento clásico conduce a la expresión

$$\bm{A}(\bm{r},t) = \sqrt{\frac{2\pi\hbar c^2}{\omega V}} \left[ ... ...-\omega t)} + e^{-i({\bm k}\cdot{\bm r}-\omega t)} \right] \hat{\epsilon} \;,$$

de donde obtenemos

$$\bm{E} = -\frac{1}{c}\frac{\partial \bm{A}}{\partial t}$$   y$$\qquad \bm{B} = \nabla\times\bm{A} = \frac{\bm{k}}{\vert\bm{k}\vert}\times\bm{E} \;.$$

Mediante el principio de correspondencia trasladamos estos resultados a la cuántica, y la perturbación entonces se escribe

$$\hat{W}(t) = \frac{e}{\mu}\sqrt{\frac{2\pi\hbar}{\omega V}}\, \h... ...ega t)} \right] = \hat{v}\,e^{i\omega t} + \hat{v}^\dagger e^{-i\omega t} \;,$$

donde definimos

$$\hat{v} = \frac{e}{\mu}\sqrt{\frac{2\pi\hbar}{\omega V}} \, \hat{\epsilon}\cdot\bm{\hat{p}}\; e^{-i{\bm k}\cdot{\bm r}} \;,$$

es decir, se trata de una perturbación armónica como la estudiada en §5.2.2. Como vimos, el término que acompaña a $e^{-i\omega t}\,$ da lugar a la absorción de un fotón de energía $\hbar\omega\,$, mientras que el que acompaña a $e^{i\omega t}\,$ corresponde a la emisión “estimulada” de un fotón de energía $\hbar\omega\,$. Esta última tiene una relevancia particular en cuanto a sus aplicaciones, ya que el campo externo aporta un fotón que perturba al átomo original e induce la emisión de otro fotón de la misma frecuencia: comenzamos con un fotón y terminamos con dos. Si puede prepararse un gran número de átomos en el mismo estado excitado, un único fotón externo puede originar una sucesión de decaimientos con sus respectivas emisiones, obteniendo una amplificación de la onda electromagnética original. Este fenómeno de “amplificación de luz por emisión estimulada de radiación” es muy conocido por sus siglas en inglés: light amplification by stimulated emission of radiation, “laser”. Como sabemos, un láser emite coherentemente luz monocromática y por lo tanto puede enfocarse en un área muy reducida, dando lugar a múltiples aplicaciones, que van desde los punteros luminosos, discos ópticos de almacenamiento (CD, DVD, BluRay), lectores de códigos de barras, cirugía láser o tratamientos de piel, cortado y soldadura de materiales, etc. En el rango de las microondas, los dispositivos denominados máseres también tienen numerosas aplicaciones: una de las más importantes en la actualidad tal vez sea la de los relojes atómicos, cuya precisión aproximada es de 1 segundo en 30.000 años, y además de servir de patrones para control de tiempo se utilizan en los sistemas de posicionamiento global (GPS).

La tasa de transición para la emisión estimulada resulta entonces

$$\fbox{\ \ $\Gamma_{i\to f}^{\rm\ (emi)\rule[-0.3em]{0em}{1em}} = ... ...t\rangle \Bigr\vert^2 \delta(E_f-E_i+\hbar\omega) \rule[-1.2em]{0em}{3em} $ }$$

mientras que la tasa de absorción es

$$\fbox{\ \ $\Gamma_{i\to f}^{\rm\ (abs)\rule[-0.3em]{0em}{1em}} = ... ...angle \Bigr\vert^2 \delta(E_f-E_i-\hbar\omega)\;. \rule[-1.2em]{0em}{3em} $ }$$

A partir de una descripción clásica entonces hemos derivado estos resultados aparentemente razonables. Sin embargo, cuando no hay radiación interactuando con un átomo en un estado excitado, como $\bm{A}\!=\!0$, entonces $\hat{v}\!=\!0\,$ y por lo tanto $\Gamma_{i\to f}^{\rm\ (emi)\rule[-0.3em]{0em}{1em}}\!=\!0$, es decir no existe la emisión espontánea cuando un átomo en un estado excitado no interactúa con radiación, lo cual se contradice con las observaciones experimentales. Claramente, el enfoque clásico no resulta suficiente para describir este fenómeno.