Algunos trucos para evaluar $\bm{\braket{1/r}_{\ket{n\ell jm}}}$, $\bm{\braket{1/r^2}_{\ket{n\ell jm}}}$ y $\bm{\braket{1/r^3}_{\ket{n\ell jm}}}$ (Shankar-Sakurai)

En el desarrollo de la corrección relativista recurrimos al teorema virial para computar $\braket{1/r}_{\ket{n\ell jm}}$, aunque también podemos pensar que el hamiltoniano $\hat{H}_\lambda=\hat{H}_o+\lambda/r$ puede resolverse analíticamente, si consideramos que las cargas interactúan mediante el potencial $-(e^2-\lambda)/r\,$ —en lugar de $-e^2/r\,$—. Las autoenergías correspondientes pueden hallarse de manera exacta como

$$\tilde{E}_n(\lambda) = -\frac{\mu\, (e^2-\lambda)^2}{2\hbar^2 n^2... ...}\frac{\partial^2\tilde{E}_n}{\partial\lambda^2}\bigg\vert _{\lambda=0} + \dots$$ (45)

Si bien dejamos expresado un posible desarrollo en serie de Taylor para un caso general, el nuestro es un polinomio de segundo grado en $\lambda$, y en este caso para el coeficiente lineal computamos directamente $\braket{\lambda/r}_{\ket{n\ell}}$ para cualquier valor de $\lambda$, reobteniendo (ejercicio) el resultado (42).

Para calcular $\braket{1/r^2}_{\ket{n\ell jm}}$, en la ecuación radial reducida para el átomo de hidrógeno asociamos un término de corrección a la energía centrífuga

$$\left[ -\frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{\,{\rm d}^2~}{\,{\rm d}r^2} + ... ...\,\ell'(\ell'+1)}{2\mu r^2}} - \frac{e^2}{r} \right] u(r) = \bar{E}\,u(r) \;,$$

redefiniendo $\ell'$ como queda sugerido. Recordando la relación entre $\ell$, el número cuántico radial $N$ y el principal $n=N+\ell+1$, obtenemos la expresión exacta para las correspondientes autoenergías

$$\bar{E}_n(\lambda) = - \frac{\mu e^4}{2\hbar^2} \frac{1}{\big(N+\ell'(\lambda)+1\big)^2} \;.$$

Recurriendo al desarrollo en serie (45), y tomando las debidas precauciones al computar la derivada

$$\frac{\partial\bar{E}_n}{\partial\lambda}\bigg\vert _{\lambda=0} ... ...c{\,{\rm d}\lambda}{\,{\rm d}\ell'}\bigg\vert _{\ell'=\ell}\rule{-1.5em}{0em}}$$

obtenemos la expresión para $\braket{1/r^2}_{\ket{n\ell jm}}$ detallada más arriba.

Finalmente, para evaluar $\braket{1/r^3}_{\ket{n\ell jm}}$ recurrimos al operador $\hat{p}_r$ que definimos en nuestra pubertad al estudiar la ecuación radial para un potencial central

$$\hat{p}_r = - i\hbar\,\left(\frac{\partial~}{\partial r} + \frac{1}{r}\right) ,$$

y que cumplía la relación de conmutación $[\hat{r},\hat{p}_r]\!=\!i\hbar\hat{I}$. Esto nos permitía obtener una expresión para el hamiltoniano de un potencial central muy similar al de la mecánica clásica

$$\hat{H} = \frac{\hat{p}_r^2}{2\mu} + \frac{1}{2\mu r^2}\, \hat{L}^2 + V(r) \;.$$

A partir de esta, es directo mostrar que (ejercicio) $\braket{[\hat{H},\hat{p}_r]}_{\ket{n\ell}}=0$ (para cualquier potencial central). Particularizando para el átomo de hidrógeno, evaluamos explícitamente este valor de expectación sobre un autoestado $u_{n\ell}$ y obtenemos directamente

$$\Big\langle\frac{1}{r^3}\Big\rangle_{\ket{n\ell jm}} = \frac{\mu}{\hbar^2\ell(\ell+1)} \Big\langle\frac{1}{r^2}\Big\rangle_{\ket{n\ell jm}} \;,$$

donde el último factor ya fue calculado más arriba.