Acoplamiento espín-órbita

El acoplamiento espín-órbita surge de la interacción del electrón con el campo magnético orbital generado por el protón. Clásicamente, desde el referencial del electrón (que se mueve a velocidad $\bm{v}\!=\!\bm{p}/\mu\,$) el protón se encuentra orbitando a su alrededor a velocidad $-\bm{v}\,$; el campo magnético que ve el electrón entonces es

$$\bm{B} = -\frac{1}{c}\,\bm{v}\times\bm{E} = \frac{1}{\mu c}\bm{E}\times\bm{p} \;,$$

donde $\bm{E}\!=\!e\bm{r}/r^3\,$ es el campo eléctrico resultante de la interacción coulombiana. Para otros potenciales centrales $V(r)\!=\!-e\phi(r)$, podemos escribir de manera análoga

$$\bm{E}(\bm{r}) = -\nabla\phi = \frac{1}{e}\nabla V(r) = \frac{1}{e}\frac{\bm{r}}{r} \frac{\,{\rm d}V}{\,{\rm d}r} \;,$$

de donde

$$\bm{B} = \frac{1}{e\mu c} \frac{1}{r} \frac{\,{\rm d}V}{\,{\rm d}... ...m{p} = \frac{1}{e\mu c} \frac{1}{r} \frac{\,{\rm d}V}{\,{\rm d}r}\,\bm{L} \;.$$

El espín interactúa con este campo a través de su momento dipolar magnético $\bm{\mu}_s\!=\!-e/(\mu c)\,\bm{S}\,$ (tomando la razón giromagnética $g_s\!=\!2\,$); trasladado a la cuántica, el hamiltoniano que representa el acoplamiento espín-órbita resulta

$$\hat{H}_{SO} = -\bm{\hat{\mu}}_s\cdot\bm{\hat{B}} = \frac{e}{\mu... ...2}\frac{1}{r} \frac{\,{\rm d}V}{\,{\rm d}r}\,\bm{\hat{S}}\cdot\bm{\hat{L}} \;.$$

Esta interacción se ha calculado desde el referencial del electrón en movimiento, que obviamente no es inercial. Al transformar al sistema centro de masa (el núcleo), que debe hacerse dentro de la teoría relativista, surge una precesión de $\bm{\mu}_s\,$, conocida como precesión de Thomas. Esto hace que la energía de interacción resulte la mitad de lo que desarrollamos en la expresión anterior, es decir

$$\hat{H}_{SO} = \frac{1}{2\mu^2c^2}\frac{1}{r} \frac{\,{\rm d}V}{\,{\rm d}r}\,\bm{\hat{S}}\cdot\bm{\hat{L}} \;.$$

Para el caso particular del átomo de hidrógeno, $V(r)\!=\!-e^2/r\,$, de modo que

$$\hat{H}_{SO} = \frac{e^2}{2\mu^2c^2}\frac{1}{r^3}\,\bm{\hat{S}}\cdot\bm{\hat{L}} \;.$$

Usamos entonces el método perturbativo para ver cómo se modifican los niveles de energía de (36) por esta interacción

$$\hat{H} = \hat{H}_o + \hat{H}_{SO} \;.$$

Como siempre, tenemos la opción de trabajar con la base de autovectores de $\hat{L}^2$, $\hat{S}^2$, $\hat{L}_z$ y $\hat{S}_z$, o con los autoestados de $\hat{L}^2$, $\hat{S}^2$, $\hat{J~}\!\!^2$ y $\hat{J~}\!\!_z\,$. Si bien para $\hat{H}_o\,$ es lo mismo, la segunda base ( $\,\left\vert n\ell jm \right\rangle \,$) es la más adecuada para representar $\hat{H}_{SO}$, pues se trata de autofunciones comunes de $\hat{H}_o\,$ y $\hat{H}_{SO}\,$ (la perturbación ya es diagonal en esta base). Habíamos explicitado estos autoestados en términos de las funciones espín-angulares $\,\mathscr{Y}_{\ell}^{\ell\pm\frac{1}{2},m}(\theta,\varphi)\,$

$$\Psi_{n,\ell,j=\ell\pm\frac{1}{2},m} = R_{n\ell}\,\mathscr{Y}_{\e... ...Y_\ell^{m-\frac{1}{2}}(\theta,\varphi)\, \left\vert + \right\rangle \right] \;.$$

Evaluamos entonces los valores de expectación de $\bm{\hat{S}}\cdot\bm{\hat{L}}\!=\!(\hat{J~}\!\!^2-\hat{L}^2-\hat{S}^2)/2\,$

$$\left\langle n\ell jm \right\vert\bm{\hat{S}}\cdot\bm{\hat{L}}\le... ...t\rangle = \frac{\hbar^2}{2} \left[j(j+1)-\ell(\ell+1)-\frac{3}{4}\right] \;.$$

Así, los autovalores de $\hat{H}\,$ a primer orden son

$$E_{n\ell j} = E_n^{(0)} + \left\langle n\ell jm \right\vert\hat{H... ...t] \left\langle n\ell\left\vert\frac{1}{r^3}\right\vert n\ell\right\rangle \;.$$

Habíamos calculado hace tiempo el último factor como

$$\left\langle n\ell\left\vert\frac{1}{r^3}\right\vert n\ell\right\rangle = \frac{2}{n^3\ell(\ell+1)(2\ell+1)\,a_o^3} \;,$$

de modo que, recordando que los niveles de energía del átomo de hidrógeno se pueden escribir como $E_n^{(0)}\!=\!-\alpha^2\mu c^2/(2n^2)$, donde $\alpha\!=\!e^2/(\hbar c)\simeq 1/137$ es la constante de estructura fina, la corrección de primer orden debida al acoplamiento espín-órbita resulta

$$\fbox{\ \ $ \Delta E_{SO}^{(1)} = - \displaystyle\frac{E_n^{(0)}\... ...(j+1)-\ell(\ell+1)-3/4}{\ell(\ell+1)(2\ell+1)} \;. \rule[-1.2em]{0em}{3em} $\ }$$ (37)

Esta expresión es válida solo para $\ell\!\neq\!0$, pues $\langle 1/r^3\rangle\,$ diverge en los estados $\left\vert n0 \right\rangle$. Sin embargo, el numerador de (37) se anula, y mediante cálculos dentro de la mecánica cuántica relativista se ve que también para $\ell\!=\!0$ la contribución $\Delta E_{SO}^{(1)}$ resulta finita, pues el segundo factor de la derecha vale 1: esta corrección de estructura fina no se debe en realidad al acoplamiento espín-órbita sino que es un efecto puramente explicado desde la cuántica relativista.