Estados degenerados

Teniendo presente la conveniencia de diagonalizar $\hat{W}$, buscamos conservar la validez de las expresiones obtenidas anteriormente para los casos en que ocurre degeneración. Supongamos entonces que $E_\nu^{(0)}$ es autoenergía de $\hat{H}_o$ para $g_\nu$ estados $\{\ket{\varphi_{\nu_\alpha}}\}\; (\alpha=1,2,\dots,g_\nu)$ —una base arbitraria para el espacio asociado a $E_\nu^{(0)}$, que no necesariamente diagonaliza $\hat{W}$—. Nos interesa encontrar una base $\{\ket{\phi_{\nu_\alpha}}\}$ adecuada, que nos permita partir de expresiones similares a las del caso no degenerado

$$\left\{ \begin{array}{l} E_{\nu_\alpha} = E_\nu^{(0)} + \lambda... ...s \rule{0em}{1.5em} \end{array} \right. \qquad (\alpha = 1,2,\dots,g_\nu) \;,$$

y nos lleve a relaciones para las correcciones de primer orden análogas a la (30) para cada $\nu_\alpha$ (ejercicio)

$$\hat{H}_o\ket{\psi_{\nu_\alpha}^{(1)}}+\hat{W}\ket{\phi_{\nu_\alp... ...\ket{\psi_{\nu_\alpha}^{(1)}} + E_{\nu_\alpha}^{(1)}\ket{\phi_{\nu_\alpha}} \;.$$ (37)

Proyectando sobre $\braket{\phi_{\nu_\beta}}$ obtenemos (ejercicio)

$$\braket{\phi_{\nu_\beta}\vert\hat{W}\vert\phi_{\nu_\alpha}} = E_{\nu_\alpha}^{(1)} \,\delta_{\alpha,\beta} \;,$$

lo que confirma que la base que nos interesa es una que diagonaliza $\hat{W}$. Esta identidad es sumamente importante, porque nos indica que al diagonalizar $\hat{W}$, además de hallar la base “correcta” $\{\ket{\phi_{\nu_\alpha}}\}$, en el mismo cálculo obtenemos las correcciones a primer orden para las autoenergías $E_{\nu_\alpha}$. A menudo se enfatiza el hecho de que resolvemos el problema en el subespacio $E_\nu^{(0)}$ aclarando que extraemos las componentes correspondientes mediante el proyector $\hat{P}_\nu$; por ejemplo al escribir la ecuación de autovalores anterior

$$\qquad\textcolor{Green}{\hat{P}_\nu}\hat{W}\textcolor{Green}{\hat... ...nu=\sum_{\alpha=1}^{g_\nu}\ket{\phi_{\nu_\alpha}}\bra{\phi_{\nu_\alpha}}\Big)}$$

nada se altera, ya que es obvio que $\ket{\phi_{\nu_\alpha}}=\hat{P}_\nu \ket{\phi_{\nu_\alpha}}\;(\forall\,\nu_\alpha)$.

Antes de avanzar con las correcciones de segundo orden, hacemos hincapié en el caso en que la diagonalización anterior ocurre alguna $E_{\nu_\alpha}^{(1)}$ degenerada, por lo que las expresiones encontradas admitirían diferentes combinaciones de las $\{\ket{\phi_{\nu_\alpha}}\}$ que mantendrían una expresión diagonal para $\hat{W}$. Por eso, al concentrarnos en el subespacio $E_\nu^{(0)}\!$, la condición de normalización “intermedia” que se impone —similar a la del caso no degenerado— es

$$\braket{\phi_{\nu_\alpha}\vert\psi_{\nu_\alpha}^{(1)}} = 0 \qquad... ...t{\cal C}_\nu\ket{\psi_{\nu_\alpha}^{(1)}} = \ket{\psi_{\nu_\alpha}^{(1)}} \;,$$

donde el operador $\hat{\cal C}_\nu\equiv(\hat{I}-\hat{P}_\nu)$ es el proyector sobre el complemento del subespacio asociado a $E_\nu^{(0)}$.

Entonces, una vez que hayamos diagonalizado $\color[rgb]{.6,0,0}\hat{W}$ en el subespacio $\color[rgb]{.6,0,0}E_\nu^{(0)}\!$, analizamos la condición impuesta para las correcciones de segundo orden, análogas a las (31)

$$\big(\hat{H}_o-E_\nu^{(0)}\big) \ket{\psi_{\nu_\alpha}^{(2}} + \h... ...\ket{\psi_{\nu_\alpha}^{(1)}} + E_{\nu_\alpha}^{(2)}\ket{\phi_{\nu_\alpha}} \;.$$ (38)

Proyectando dentro del subespacio asociado a la degeneración, el primer término de la izquierda nuevamente resulta nulo, y el primero de la derecha también se anula porque hemos asumido que $\ket{\psi_{\nu_\alpha}^{(1)}}$ no tiene componentes en el subespacio $E_\nu^{(0)}\!$, de manera que

$$\hat{P}_\nu\,\hat{W}\ket{\psi_{\nu_\alpha}^{(1)}} = E_{\nu_\alpha}^{(2)}\ket{\phi_{\nu_\alpha}} \;.$$ (39)

Vemos que para obtener $E_{\nu_\alpha}^{(2)}$ es necesario determinar $\ket{\psi_{\nu_\alpha}^{(1)}}$, para lo cual proyectamos la expresión (37), asociada a las correcciones de primer orden, en el complemento de $E_\nu^{(0)}\!$

$$\hat{\cal C}_\nu\big(\hat{H}_o-E_\nu^{(0)}\big) \ket{\psi_{\nu_\a... ...pha}} = E_{\nu_\alpha}^{(1)}\,\hat{\cal C}_\nu\ket{\phi_{\nu_\alpha}} = 0 \;,$$

de donde obtenemos (ejercicio)

$$\ket{\psi_{\nu_\alpha}^{(1)}} = \hat{\cal C}_\nu\frac{1}{E_\nu^{... ...i_m\vert\hat{W}\vert\phi_{\nu_\alpha}}}{E_\nu^{(0)}-E_m^{(0)}}\ket{\phi_m} \;.$$

Sustituyendo en la (39), las correcciones de segundo orden para las autoenergías se extraen de las ecuaciones

$$\textcolor{Green}{\hat{P}_\nu}\,\hat{W}\,\hat{\cal C}_\nu\frac{1}... ...u}\,\ket{\phi_{\nu_\alpha}} = E_{\nu_\alpha}^{(2)}\ket{\phi_{\nu_\alpha}} \;.$$

Entonces la base “correcta” que buscamos también debe diagonalizar en el subespacio $E_\nu^{(0)}\!$ el potencial efectivo

$$\hat{W}_{\text ef} = \hat{W}\hat{\cal C}_\nu\frac{1}{E_\nu^{(0)}-\hat{H}_o}\hat{\cal C}_\nu\hat{W} \;.$$

Vale la pena aclarar que siempre que especifiquemos que trabajamos en el subespacio asociado a la degeneración podemos omitir los proyectores $\textcolor{Green}{\hat{P}_\nu}$ de la expresión anterior.

Resumiendo, una vez que hayamos diagonalizado $\hat{W}$ en el subespacio $E_\nu^{(0)}\!$, podemos adaptar las expresiones que obtuvimos para el caso no degenerado y escribir, a primer orden

$$\ket{\psi_{\nu_\alpha}} = \ket{\phi_{\nu_\alpha}} + \sum_{E_m^{(0... ..._m\vert\hat{H}_p\vert\phi_{\nu_\alpha}}}{E_\nu^{(0)}-E_m^{(0)}}\; \ket{\phi_m}$$

Además, habiendo diagonalizado el operador $\hat{W}_{\text ef}$ en el subespacio degenerado, las autoenergías corregidas a segundo orden pueden expresarse como

$$E_{\nu_\alpha} = E_\nu^{(0)} + \braket{\phi_{\nu_\alpha}\vert\hat... ...ket{\phi_m\vert\hat{H}_p\vert\phi_{\nu_\alpha}}\vert^2}{E_\nu^{(0)}-E_m^{(0)}}$$