Perturbaciones independientes del tiempo (basado en Zettili, Shankar, Merzbacher, etc.)

Si bien habíamos presentado el método perturbativo para problemas que no pueden resolverse exactamente, muchas situaciones pueden pensarse como leves alteraciones de otras que ya hemos resuelto. Presentaremos entonces la teoría de perturbaciones en este contexto, aplicándola a situaciones concretas que afectan al átomo de hidrógeno, pero cuya implementación puede extenderse a átomos multielectrónicos aun cuando el formalismo se torna bastante más complicado.

La teoría de perturbaciones se basa en suponer que el problema a resolver es levemente diferente de otro cuya solución resulta conocida:

$$\hat{H}_o \vert\phi_n\rangle = E_n^{(0)} \vert\phi_n\rangle \;.$$

El problema concreto a resolver

$$\hat{H} \vert\psi_n\rangle = E_n \vert\psi_n\rangle$$

involucra el hamiltoniano

$$\hat{H} = \hat{H}_o + \hat{H}_p \;,$$

donde $\hat{H}_p\,$ es una perturbación que resulta muy pequeña frente a $\hat{H}_o\,$ (más adelante se aclarará qué significa esta “pequeñez”). A menudo se toma entonces $\hat{H}_p$= $\lambda\hat{W}\,$, con $\lambda\!\ll\!1\,$. En el caso no degenerado, es decir hay solo un estado $\vert\phi_n\rangle\,$ para cada autovalor $E_n^{(0)}$, deseamos aproximar una solución para el problema de autovalores

$$\big(\hat{H}_o+\lambda\hat{W}\big) \vert\psi_n\rangle = E_n \vert\psi_n\rangle$$ (26)

proponiendo

$$\left\{ \begin{array}{l} E_n = E_n^{(0)} + \lambda\, E_n^{(1)... ...psi_n^{(2)}\rangle + \dots \rule{0em}{1.5em} \end{array}\right.$$ (27)

Representamos así la corrección de orden $j\,$ con el supraíndice $(j)$. Es importante notar que estas expansiones no siempre convergen: la aproximación resulta satisfactoria cuando para $0\neq\!\lambda\!\ll\!1$ los estados generados difieren poco del caso $\lambda$=0 (claramente esto dependerá de la estructura propia de $\hat{W}$). Este es el verdadero significado de la “pequeñez” de la perturbación $\hat{H}_p$.