Estados degenerados

Cuando existen estados degenerados el formalismo anterior obviamente no puede aplicarse. Consideremos en particular el ejemplo simple de un espacio de 2 dimensiones cuyo hamiltoniano sin perturbar es degenerado

$$\hat{H}_o = \left(\begin{array}{cc} \varepsilon & 0\\ 0 & \varepsilon \end{array}\right)\;,$$

mientras que la perturbación se escribe como

$$\hat{H}_p = \left(\begin{array}{cc} 0 & \lambda \\ \lambda & 0 \e... ...left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) = \lambda\hat{W} \;.$$

Utilizando una notación similar a la anterior, tenemos

$$\left\vert \phi_a \right\rangle = \left(\!\begin{array}{c} 1 \\ 0... ...0 \\ 1 \end{array} \!\right) , \qquad E_a^{(0)} = E_b^{(0)} = \varepsilon \;.$$

La corrección de orden 1 detallada en (31) para las energías se anula, pues los elementos diagonales de $\hat{H}_p$ son 0. Estos resultados son incorrectos, ya que en este caso la matriz $\hat{H}$ puede diagonalizarse de manera exacta (ejercicio), resultando

$$\left\vert \psi_a \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\!\begi... ...gin{array}{r}1\\ -1\end{array} \!\right) \qquad E_b = \varepsilon-\lambda \;.$$

Si bien el cambio de la base original $\{\left\vert \phi_a \right\rangle ,\left\vert \phi_b \right\rangle \}$ a los autovectores resultantes aparece como algo repentino al cambiar de $\lambda\!=\!0$ a $\lambda\!\neq\!0$, es importante señalar que los autovectores originales pueden combinarse libremente para generar infinitas bases posibles para el subespacio expandido por los autovectores (que en este caso son todos los vectores de nuestro espacio vectorial). En particular, como en este subespacio nuestro $\hat{H}_o$ es degenerado y por lo tanto proporcional a la identidad, siempre conmuta con $\hat{H}_p$, de manera que el cambio de base que diagonaliza a ambos operadores siempre está garantizado.

Volvamos entonces a la ecuación de autovalores

$$\hat{H}_o \vert\phi_n\rangle = E_n^{(0)} \vert\phi_n\rangle \;,$$

y supongamos que tiene asociado un estado para cada autoenergía, excepto para $n\!=\!\nu\,$ en el que el autovalor $E_\nu^{(0)}$ está $k\,$ veces degenerado

$$\hat{H}_o\left\vert \varphi_{\nu_\alpha} \right\rangle = E_\nu^{(... ...t\vert \varphi_{\nu_\alpha} \right\rangle \;, \qquad \alpha = 1,2,\dots,k \;.$$

Si bien estas $\{\left\vert \varphi_{\nu_\alpha} \right\rangle \}$ no diagonalizan $\hat{H}_p\,$, sabemos que tenemos libertad para cambiar de base y que esa condición se cumpla. Deseamos entonces escribir la estimación de las soluciones de (27)

$$\big(\hat{H}_o+\hat{H}_p\big) \vert\psi_n\rangle = E_n \vert\psi_n\rangle$$

mediante las expansiones (28), donde en particular

$$\left\{ \begin{array}{l} E_{\nu_\alpha} = E_\nu^{(0)} + \lambda... ...\dots \rule{0em}{1.5em} \end{array} \right. \qquad (\alpha = 1,2,\dots,k) \;,$$

para lo cual debemos exigir que estos vectores $\{\left\vert \phi_{\nu_\alpha} \right\rangle \}$ sean también autovectores de $\hat{H}_p$ (además de ser autoestados de $\hat{H}_o$), es decir

$$\vert\phi_{\nu_\alpha}\rangle = \sum_\beta b_{\alpha\beta}\,\vert\varphi_{\nu_\beta}\rangle \;,$$

de modo que cumpla a primer orden la ecuación de autovalores

$$\big(\hat{H}_o+\hat{H}_p\big) \vert\phi_{\nu_\alpha}\rangle = E_... ... E_{\nu_\alpha} \sum_\beta b_{\alpha\beta}\,\vert\varphi_{n_\beta}\rangle \;.$$

Proyectando sobre $\langle\varphi_{\nu_\alpha}\vert\,$

$$\sum_\beta b_{\alpha\beta}\, \left[ E_\nu^{(0)}\delta_{\alpha\bet... ...}_p\vert\varphi_{\nu_\beta}\rangle \right] = b_{\alpha\alpha}\, E_{\nu_\alpha}$$

obtenemos

$$b_{\alpha\alpha}\, E_{\nu_\alpha} = b_{\alpha\alpha}\, E_\nu^{(0)} + \sum_{\beta=1}^k b_{\alpha\beta} \big(\hat{H}_p\big)_{\alpha\beta} \;,$$

donde conviene recalcar que los elementos de matriz $\big(\hat{H}_p\big)_{\alpha\beta}$ están calculados en la base original $\{\left\vert \varphi_{\nu_\alpha} \right\rangle \}$. Recordando que (a primer orden)

$$\Delta E_{\nu_\alpha}^{(1)} \equiv E_{\nu_\alpha}\!-\!E_\nu^{(0)}\!=\!\lambda\,E_{\nu_\alpha}^{(1)} \;,$$

la expresión anterior puede expresarse como

$$\sum_{\beta=1}^k b_{\alpha\beta} \left[ \hat{W}_{\alpha\beta} - ... ..._\alpha}^{(1)}\delta_{\alpha\beta} \right] = 0 \qquad (\alpha=1,2,\dots,k) \;.$$

Esto representa un sistema de $k\,$ ecuaciones con $k\,$ incógnitas (los coeficientes $b_{\alpha\beta}$). Para que la única solución no sea la trivial debe cumplirse

$$\det \left( \hat{W} - E_{\nu_\alpha}^{(1)}\,\hat{I} \right) = 0 \;,$$

que resulta muy similar a una ecuación característica para autovalores: en general tiene $k\,$ raíces reales (porque $\hat{H}_p\,$ es hermitiano) diferentes $E_{\nu_\alpha}^{(1)}$, en cuyo caso se levanta la degeneración para $E_{\nu_\alpha}$, y tendremos $k\,$ correcciones para $E_\nu^{(0)}$.

También en este caso se proponen aproximaciones análogas a las expansiones (28)

$$\left\{ \begin{array}{l} E_{\nu_\alpha} = E_\nu^{(0)} + \lamb... ...lpha}^{(2)}\rangle + \dots \rule{0em}{1.5em} \end{array}\right.$$ (34)

con restricciones similares a las del caso no degenerado

$$\langle\phi_{\nu_\alpha}\vert\psi_{\nu_\alpha}\rangle = 1 \qquad (\alpha = 1,2,\dots,k) \;,$$

lo que como sabemos implica

$$\langle\phi_{\nu_\alpha}\vert\psi_{\nu_\alpha}^{(1)}\rangle = \langle\phi_{\nu_\alpha}\vert\psi_{\nu_\alpha}^{(2)}\rangle + \dots = 0 \;.$$

Con esta notación, a orden 0 podemos expandir las nuevas autofunciones del subespacio originalmente asociado con $E_\nu^{(0)}$ como

$$\vert\psi_{\nu_\alpha}^{(0)}\rangle \equiv \left\vert \phi_{\nu_\... ...angle = \sum_\beta b_{\alpha\beta}\,\vert\varphi_{\nu_\beta}\rangle \;, \qquad($$con la condición$$\quad \langle\phi_{\nu_\alpha}\vert\phi_{\nu_\beta}\rangle = \delta_{\alpha\beta}) \;.$$

En este subespacio las $k$ ecuaciones análogas a la (29) se escriben

$$\hat{H}_o\vert\psi_{\nu_\alpha}^{(1)}\rangle+\hat{W}\vert\phi_{\n... ...nu_\alpha}^{(1)}\rangle + E_{\nu_\alpha}^{(1)}\vert\phi_{\nu_\alpha}\rangle \;,$$ (35)

de manera que proyectando sobre $\left\langle \phi_{\nu_\alpha} \right\vert$, nuevamente vemos que la corrección de primer orden a $E_\nu^{(0)}$ es

$$E_{\nu_\alpha}^{(1)} = \left\langle \phi_{\nu_\alpha} \right\vert\hat{W}\left\vert \phi_{\nu_\alpha} \right\rangle \;,$$

que es precisamente la definición que acompañó el proceso de diagonalización de $\hat{H}_p\!=\!\lambda\hat{W}$. Al igual que en el caso no degenerado, puede expandirse $\vert\psi_{\nu_\alpha}^{(1)}\rangle\,$ en términos de la base $\{\vert\phi_m\rangle\}\,$

$$\vert\psi_{\nu_\alpha}^{(1)}\rangle = \sum_{m\neq\nu_\alpha} \langle\phi_m\vert\psi_{\nu_\alpha}^{(1)}\rangle\; \vert\phi_m\rangle \;.$$

Para obtener los coeficientes $\langle\phi_m\vert\psi_{\nu_\alpha}^{(1)}\rangle$ proyectamos (35) sobre $\left\langle \phi_m \right\vert$

$$\langle\phi_m\vert\hat{H}_o\vert\psi_{\nu_\alpha}^{(1)}\rangle + ... ...}\rangle + E_{\nu_\alpha}^{(1)}\langle\phi_m\vert\phi_{\nu_\alpha}\rangle \;,$$

donde deben distinguirse los casos en que $m\,$ es alguno de los $\nu_\beta$ correspondientes a los $\left\vert \phi_{\nu_\beta} \right\rangle \,$ que expanden el espacio asociado a $E_\nu^{(0)}$: en ese caso la expresión anterior no provee ninguna información acerca de los coeficientes $\langle\phi_{\nu_\beta}\vert\psi_{\nu_\alpha}^{(1)}\rangle$ (ejercicio). Aunque no lo demostraremos aquí, todos esos coeficientes se anulan, mientras que para $m\!\neq\!\nu_\beta$ obtenemos una expresión idéntica a la (32) del caso no degenerado

$$\langle\phi_m\vert\psi_{\nu_\alpha}^{(1)}\rangle = \frac{\langle\phi_m\vert\hat{W}\vert\phi_{\nu_\alpha}\rangle}{E_\nu^{(0)}-E_m^{(0)}} \;,$$

es decir que, en primer orden,

$$\fbox{\ \ $\vert\psi_{\nu_\alpha}\rangle = \vert\phi_{\nu_\alpha}... ...ngle}{E_\nu^{(0)}-E_m^{(0)}}\; \vert\phi_m\rangle \rule[-1.2em]{0em}{3em} $ }$$

Para la corrección de segundo orden en las autoenergías proyectamos la expresión análoga a la (30) para el caso no degenerado

$$\hat{H}_o\vert\psi_{\nu_\alpha}^{(2)}\rangle+\hat{W}\vert\psi_{\n... ...vert\psi_{\nu_\alpha}^{(1)}\rangle + E_{\nu_\alpha}^{(2)}\vert\phi_n\rangle\;.$$

sobre $\langle\phi_{\nu_\alpha}\vert$

$${\color{gray}0 +} \langle\phi_{\nu_\alpha}\vert\hat{W}\vert\psi_{\nu_\alpha}^{(1)}\rangle = {\color{gray}0 +} E_{\nu_\alpha}^{(2)}$$

y sustituimos la expansión obtenida para $\vert\psi_{\nu_\alpha}^{(1)}\rangle$ obteniendo

$$\fbox{\ $E_{\nu_\alpha} = E_\nu^{(0)} + \langle\phi_{\nu_\alpha}... ...\nu_\alpha}\rangle\vert^2}{E_\nu^{(0)}-E_m^{(0)}} \rule[-1.2em]{0em}{3em} $ }$$

Estas expresiones son muy parecidas a las del caso no degenerado: cambia la restricción sobre los sumandos (siempre evitando las singularidades en los términos), y además involucra el cambio de base que permite diagonalizar simultáneamente $\hat{H}_o$ y $\hat{H}_p$ (o $\hat{W}$) en el subespacio asociado a $E_\nu^{(0)}$.

Es importante resaltar que en muchos casos se mantendrá la degeneración de $E_n\,$, al menos parcialmente: algunos estados se desdoblarán, pero otros tal vez sigan asociándose a una misma autoenergía. Tal como lo hemos presentado aquí, para estados degenerados suele resultar suficiente la aproximación de orden cero para el cambio de base a $\{\vert\psi_{n_\beta}\rangle\}\,$ (en ese subespacio), y de allí pasar a la corrección de orden 1 en las energías.