Degeneración y singularidades

Cuando existen estados degenerados el formalismo anterior obviamente no puede aplicarse, ya que ocurren singularidades en las expresiones desarrolladas para las correcciones, a menos que se anulen los elementos de matriz de $\hat{W}$ fuera de la diagonal. Sin embargo, cuando hay degeneración tenemos libertad para elegir entre infinitas bases, y quizás sea posible lograr que esos elementos se anulen. Consideremos en particular el ejemplo simple de un espacio de 2 dimensiones cuyo hamiltoniano sin perturbar es degenerado

$$\hat{H}_o = \left(\begin{array}{cc} \varepsilon & 0\\ 0 & \varepsilon \end{array}\right)\;,$$

mientras que la perturbación se escribe como

$$\hat{H}_p = \left(\begin{array}{cc} 0 & \lambda \\ \lambda & 0 \e... ...left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) = \lambda\hat{W} \;.$$

Utilizando una notación similar a la anterior, tenemos

$$\ket{\phi_a} = \left(\!\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \!\rig... ...0 \\ 1 \end{array} \!\right) , \qquad E_a^{(0)} = E_b^{(0)} = \varepsilon \;.$$

La corrección de orden 1 detallada en (32) para las energías se anula, pues los elementos diagonales de $\hat{H}_p$ son 0. Estos resultados son incorrectos, ya que en este caso la matriz $\hat{H}$ puede diagonalizarse de manera exacta (ejercicio), resultando

$$\ket{\psi_a} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\!\begin{array}{c}1\\ 1\en... ...gin{array}{r}1\\ -1\end{array} \!\right) \qquad E_b = \varepsilon-\lambda \;.$$

Si bien el cambio de la base original $\{\ket{\phi_a},\ket{\phi_b}\}$ a los autovectores resultantes aparece como algo repentino al cambiar de $\lambda\!=\!0\,$ a $\,\lambda\!\neq\!0$, es importante señalar que los autovectores originales pueden combinarse libremente para generar infinitas bases posibles para el subespacio expandido por los autovectores (que en este caso son todos los vectores de nuestro espacio vectorial). En particular, como en este subespacio nuestro $\hat{H}_o$ es degenerado y por lo tanto proporcional a la identidad, siempre conmuta con $\hat{H}_p$, de manera que el cambio de base que diagonaliza a ambos operadores siempre está garantizado.

Volvamos entonces al caso no degenerado, para el cual reescribimos la ecuación (30) asociada al orden 1 de la ecuación de autovalores después de introducir la expansión (29) anterior

$$\big(\hat{H}_o-E_n^{(0)}\big) \ket{\psi_n^{(1)}} = \big(E_n^{(1)}-\hat{W}\big) \ket{\phi_n} \;.$$ (35)

Teniendo presente el proyector $\hat{P}_n=\ket{\phi_n}\bra{\phi_n}$ sobre el subespacio generado por $\ket{\phi_n}$, a partir de (32) podemos expresar $E_n^{(1)}\ket{\phi_n}=\hat{P}_n\hat{W}\ket{\phi_n}$, de manera que la igualdad anterior equivale a

$$\big(\hat{H}_o-E_n^{(0)}\big) \ket{\psi_n^{(1)}} = \big(\hat{P}_n... ...hat{W}\big) \ket{\phi_n} = \big(\hat{P}_n-\hat{I}\big)\hat{W} \ket{\phi_n} \;.$$

Así como la identidad es la suma de todos los proyectores ortonormales generados con los $\{\ket{\phi_k}\}$, el operador $\hat{\cal C}_n\equiv(\hat{I}-\hat{P}_n)$ es el proyector sobre el complemento del subespacio generado por $\ket{\phi_n}$, de manera que

$$\big(E_n^{(0)}\!-\hat{H}_o\big) \ket{\psi_n^{(1)}} = \hat{\cal C}_n\hat{W}\ket{\phi_n} \;.$$

Siempre puede combinarse la inversa de $\big(E_n^{(0)}\!\!-\!\hat{H}_o\big)$, que notamos como $1/\big(E_n^{(0)}\!\!-\!\hat{H}_o\big)$, con $\hat{\cal C}_n$ evitando singularidades; en nuestro caso despejamos $\ket{\psi_n^{(1)}}$ de la expresión anterior

$$\ket{\psi_n^{(1)}} = \frac{1}{E_n^{(0)}\!-\hat{H}_o} \hat{\cal C}... ...\braket{\phi_k\vert\hat{W}\vert\phi_n}}{E_n^{(0)}\!-E_k^{(0)}} \ket{\phi_k} \;.$$ (36)

Esta igualdad nos ha permitido expandir $\ket{\psi_n^{(1)}}$ en términos de las $\{\ket{\phi_k}\}$, y verificar que efectivamente se cumple $\braket{\phi_n\vert\psi_n^{(1)}}=0\,$. Como $\ket{\psi_n^{(1)}}$ no tiene componentes según $\ket{\phi_n}$, es obvio que se cumple la identidad $\ket{\psi_n^{(1)}}=\textcolor{Green}{\hat{\cal C}_n}\ket{\psi_n^{(1)}}$, que usaremos según nuestra conveniencia. Expresamos entonces las correcciones de primer orden (32) y de segundo orden (33) como valores de expectación en el estado $\ket{\phi_n}$

$$E_n^{(1)} = \langle\phi_n\vert\hat{W}\vert\phi_n\rangle \quad, \q... ...{1}{E_n^{(0)}-\hat{H}_o} \hat{\cal C}_n\hat{W} \Big\vert \phi_n\Big\rangle \;,$$

o elementos diagonales de los operadores $\hat{W}$ y el operador $\hat{W}_{\text ef}$, que excluye el subespacio asociado a $E_n$ donde pueden ocurrir las mencionadas singularidades,

$$\hat{W}_{\text ef} = \hat{W}\hat{\cal C}_n\frac{1}{E_n^{(0)}-\hat{H}_o}\hat{\cal C}_n\hat{W} \;.$$

La ventaja de haber incluido el operador $\textcolor{Green}{\hat{\cal C}_n}$ en las expresiones anteriores es que de este modo garantizamos que $\hat{W}_{\text ef}$ sea hermitiano por construcción.