Corrección relativista

Otra corrección relativista se introduce a través de la energía cinética: como vimos en clásica, cuando las velocidades de una masa son bastante menores a la de la luz, podemos aproximar

$$T = \sqrt{p^2 c^2 + \mu^2 c^4} - \mu c^2 \simeq \frac{p^2}{2\mu} - \frac{p^4}{8\mu^3 c^2} + \cdots$$

Al trasladar este desarrollo a la cuántica, separamos entonces en el hamiltoniano el término $\hat{H}_R\,$ llamado corrección relativista

$$\hat{H} = \hat{H}_o+\hat{H}_R \;, \qquad \hat{H}_R=-\frac{\hat{p}^4}{8\mu^3 c^2} \;.$$

Es importante notar que $[\hat{p}^4,\hat{L}^2]\!=\!0\!=\![\hat{p}^4,\hat{L}_k]$, pues como ya sabíamos $\hat{p}^2$ es un escalar. Esto implica que la perturbación $\hat{H}_R\,$ es diagonal si utilizamos la base $\ket{n\ell j m}$ —que es compatible con la corrección por el acoplamiento espín-orbita que acabamos de calcular—. Para el átomo de hidrógeno podemos estimar la corrección a primer orden en los niveles de energía como

$$\Delta E_R^{(1)} = \bra{n\ell j m}\hat{H}_R\ket{n\ell j m} = -\frac{1}{8\mu^3 c^2} \langle\hat{p}^4\rangle_{\ket{n\ell j m}} \;.$$

Si bien es posible evaluar $\langle\hat{p}^4\rangle$ en los estados $\ket{n\ell j m}$, más sencillo resulta notar que

$$\frac{\hat{p}^4}{4\mu^2} = \left(\frac{\hat{p}^2}{2\mu}\right)^2 = \left(\hat{H}_o+\frac{e^2}{r}\right)^2 \;,$$

con lo cual

$$\Delta E_R^{(1)} = -\frac{1}{2\mu c^2} \left[\big(E_n^{(0)}\big)^... ...j m}} + e^4 \Big\langle\frac{1}{r^2}\Big\rangle_{\ket{n\ell j m}} \right] \;.$$

Del teorema virial sabemos que

$$-\Big\langle\frac{e^2}{r}\Big\rangle_{\ket{n\ell j m}} = 2 E_n^{(0)} \;,$$ (42)

y también habíamos calculado

$$\Big\langle\frac{e^4}{r^2}\Big\rangle_{\ket{n\ell j m}} = \frac{... ... (\ell+\frac{1}{2})} = \frac{4 \big(E_n^{(0)}\big)^2 n}{\ell+\frac{1}{2}} \;.$$

Entonces tenemos

$$\fbox{\ \ $ \Delta E_R^{(1)} = \displaystyle -\frac{\alpha^4\mu c... ...{(0)}}{4n^2} \left(\frac{8n}{2\ell+1}-3\right) \;. \rule[-1.2em]{0em}{3em} $\ }$$ (43)

Esta corrección es del mismo orden de magnitud que la $\Delta E_{SO}^{(1)}$, siendo ambas de alrededor de $10^{-3}$ eV.

La “estructura fina” del hidrógeno se obtiene entonces considerando las dos correcciones anteriores

$$\Delta E_{EF}^{(1)} = \Delta E_{SO}^{(1)} + \Delta E_R^{(1)} = \f... ...ell+1)} - \frac{\alpha^4\mu c^2}{8 n^4} \left(\frac{8n}{2\ell+1}-3\right) \;.$$

Se deja como ejercicio realizar las sustituciones correspondientes a $j\!=\!\ell\!\pm\!1/2$ (conviene hacerlo por separado), lo que nos permite escribir

$$\Delta E_{EF}^{(1)} = \frac{\alpha^4\mu c^2}{8 n^4} \, \left(3-\frac{8n}{2j+1}\right) \;.$$

Resumiendo entonces, los niveles de energía del hidrógeno incluyendo las correcciones de estructura fina a primer orden son

$$\fbox{\ \ $ E_{nj} = E_n^{(0)} \left[ 1 + \displaystyle \frac{\al... ...}{4n^2} \left(\frac{8n}{2j+1}-3\right) \right] \;. \rule[-1.2em]{0em}{3em} $\ }$$ (44)

En esta expresión se pone en evidencia que, a diferencia de las $E_n^{(0)}$, que están degeneradas para todas las proyecciones $\ell\,$, los niveles $E_{nj}\,$ se desdoblan en dos, ya que para cada valor de $\ell\,$ hay dos valores posibles de $j\!=\!\ell\pm1/2$.

Existe además otra corrección, bastante menor, denominada estructura hiperfina, la cual proviene de la interacción del espín del electrón con el del protón del núcleo: el estado $1S_{1/2}\,$ se desdobla en dos niveles cuyas energías se separan 5,89 $\times10^{-6}$ eV. Las transiciones correspondientes al decaimiento de la configuración de dos espines paralelos a la de antiparalelos origina la emisión de fotones de longitud de onda de 21 cm (1420 MHz). Esta radiación puede penetrar las grandes nubes de polvo cósmico interestelar, que son opacas para la luz visible, lo que se aprovecha en radioastronomía: de su intensidad, ensanchamiento y corrimiento Doppler se obtiene información sobre la densidad, temperatura y movimiento de las nubes de hidrógeno interestelares e intergalácticas.