Efecto Zeeman anómalo

Ya hemos visto que bajo la acción de un campo magnético externo uniforme sobre una partícula de masa $\mu\,$ y carga $q\,$, podemos elegir una transformación canónica $\bm{p}\to\bm{p}-(q/c)\bm{A}$, donde $\bm{A}=(\bm{B}\times\bm{r})/2$ es el potencial vector para este campo, que nos permite escribir el hamiltoniano de la partícula en cuestión como

$$\hat{H} = \frac{1}{2\mu}\left(\bm{p}-\frac{q}{c}\right)^2 + V(\bm{r}) \;,$$

y en el gauge de Coulomb ( $\nabla\cdot\bm{A}=0$) resulta

$$\hat{H} = \hat{H}_o - \frac{q}{2\mu c}\bm{B}\cdot\bm{\hat{L}} + \... ...^2 \qquad \left(\bm{\hat{\mu}}_L\equiv\frac{q\bm{\hat{L}}}{2\mu c}\right) \;,$$

donde aquí $\hat{H}_o\,$ representa el hamiltoniano sin campo. Para el caso del átomo de hidrógeno ( $q\!=\!-e\,$, $V(r)\!=\!-e^2/r\,$), y considerando $\bm{B}\!=\!B\hat{k}\,$,

$$\hat{H} = \frac{1}{2\mu}\bm{p}^2 - \frac{e^2}{r} + \frac{eB}{2\mu c}\hat{L}_z + \frac{e^2B^2}{8\mu c^2}\left(x^2+y^2\right) \;.$$

El último término resulta muy pequeño al considerar un átomo aislado, de modo que definiendo el “magnetón de Bohr” $\mu_B\!=\!e\hbar/(2\mu c)$, nos queda

$$\hat{H} = \hat{H}_o + \frac{\mu_B B}{\hbar}\hat{L}_z \;.$$

Al no considerar el espín, habíamos visto que las autofunciones $\left\vert n\ell m_\ell \right\rangle$ de $\hat{H}_o\,$ son también autofunciones de $\hat{L}_z\,$, lo que nos permitía obtener el desdoblamiento Zeeman normal, correspondiente a la interacción del momento magnético orbital $\bm{\hat{\mu}}_L\,$ con el campo externo. También habíamos mencionado que en lugar de tener un desdoblamiento en un número impar $(2\ell\!+\!1)$ de niveles, los datos experimentales evidencian un número par. Es necesario entonces incluir el estado de espín de los electrones, es decir describir también la interacción del momento magnético intrínseco $\bm{\hat{\mu}}_S\,$ con $\bm{B}$. El hamiltoniano de Zeeman entonces resulta

$$\hat{H}_Z = - \bm{\hat{\mu}}_L\cdot\bm{B} - \bm{\hat{\mu}}_S\cdot... ...bm{\hat{S}}\cdot\bm{B} = \frac{eB}{2\mu c} \big(\hat{L}_z+2\hat{S}_z\big) \;.$$

Como también aquí esperamos que esta corrección sea pequeña la planteamos como una perturbación a $\hat{H}_o\,$, de manera que compite entonces con $\hat{H}_{SO}\,$ y con $\hat{H}_R\,$ (que son comparables). Por eso suele separarse el caso de campo fuerte del de campo débil, aludiendo a la comparación entre estas correcciones. Nos referimos así al caso de campo fuerte cuando

 

$$\langle\hat{H}_Z\rangle \gg \Delta E_{SO} \quad \Rightarrow \quad \mu_B B \gg \frac{\hbar^2 e^2}{2\mu c^2a_o^3} \equiv W \;.$$ En este caso despreciamos $\hat{H}_{EF}\!=\!\hat{H}_{SO}\!+\!\hat{H}_R\,$, es decir consideramos en la perturbación solo el hamiltoniano Zeeman: $$\hat{H} = \hat{H}_o + \frac{eB}{2\mu c} \big(\hat{L}_z+2\hat{S}_z\big) \;.$$ Como $\hat{H}\,$ conmuta con $\hat{H}_o\,$, directamente computamos las correcciones en los estados $\left\vert n\,\ell\,m_\ell\,m_s \right\rangle \,$ $$E_{n(\ell)m_\ell m_s} = E_n^{(0)} + \frac{eB\hbar}{2\mu c}\left(m_\ell+2m_s\right) \;.$$

 

El segundo término de la derecha se conoce como desplazamiento de Paschen-Back. Vemos así que la degeneración $g_n\!=\!n^2\,$ que hay para $B\!=\!0\,$ se levanta parcialmente cuando se activa el campo externo, y solo siguen siendo degenerados los estados para los cuales se tienen valores iguales de $(m_\ell+2m_s)$.

En el caso de campo débil, es decir cuando $\mu_B B\ll \hbar^2 e^2/(2\mu c^2a_o^3)\,$, el hamiltoniano de estructura fina será dominante; conviene entonces utilizar la base que lo diagonaliza, es decir $\left\vert n\ell j m_j \right\rangle$. Escribimos entonces

$$\hat{H}_Z = \frac{eB}{2\mu c} \big( \hat{J_z} + \hat{S}_z \big) \;,$$

de manera que las correcciones a las autoenergías resultan

$$\Delta E_Z^{(1)} = \big\langle n\ell j m_j\big\vert\hat{H}_Z\big\... ...ig\vert\big( \hat{J_z} + \hat{S}_z \big) \big\vert n\ell j m_j\big\rangle \;.$$

Los valores de expectación de $\hat{J_z}$ se evalúan fácilmente

$$\big\langle n\ell j m_j\big\vert\hat{J_z}\big\vert n\ell j m_j\big\rangle = \hbar m_j \;,$$

mientras que los $\big\langle\hat{S}_z\big\rangle$ se calculan utilizando el hecho de que

$$\big\langle n\ell j m_j\big\vert \bm{\hat{J}}\cdot\bm{\hat{S}} \... ...\vert n\ell j m_j\big\rangle = \hbar^2\frac{j(j+1)+s(s+1)-\ell(\ell+1)}{2} \;;$$

aprovechando el teorema de Wigner-Eckhart (16), y en particular el teorema de proyección (19), que permite relacionar los elementos de matriz de $\hat{S}_z\;(\hat{S}_0)\,$ con los de $\hat{J_z}\;(\hat{J}_0)$, podemos escribir (ejercicio)

$$\left\langle n\ell j m_j\left\vert \hat{S}_z \right\vert n\ell j ... ...angle n\ell j m_j\left\vert \hat{J_z} \right\vert n\ell j m_j\right\rangle \;.$$

Así, la corrección a primer orden debida a $\hat{H}_Z\,$ resulta

$$\Delta E_Z^{(1)} = \frac{eB\hbar}{2\mu c} \left[ 1 + \frac{j(j+1... ...{2j(j+1)}\right] m_j = \frac{eB\hbar}{2\mu c} g_j\,m_j = \mu_B B g_j\,m_j \;,$$

donde

$$g_j = \frac{3}{2} + \frac{s(s+1)-\ell(\ell+1)}{2j(j+1)}$$

es la razón giromagnética o factor de Landé.

Reuniendo las correcciones de estructura fina y la correspondiente al campo magnético débil, los niveles de energía pueden escribirse como

$$E_{nj} = E_n^{(0)} + \Delta E_{EF}^{(1)} + \Delta E_Z^{(1)} = E_... ... \left(\frac{8n}{2j+1}-3\right) \right] + \frac{eB\hbar}{2\mu c} g_j\,m_j \;.$$