Aproximación dipolar.

Al evaluar las tasas de transición, suele recurrirse a expresiones aproximadas a partir de la expansión

$$e^{\pm i{\bm k}\cdot{\bm r}} = 1 \pm i$$${k}$$$\cdot$$${r}$$$- \frac{1}{2} ($$${k}$$$\cdot$$${r}$$$)^2 + \cdots$$

en el caso ${k}$$\cdot$${r}$$\ll 1$. Para emisiones con longitudes de onda en el visible o ultravioleta, tomando $r$ comparable al radio de Bohr, $kr<10^{-2}$, de manera que el rango de validez de la aproximación dipolar $e^{\pm{\bm k}\cdot{\bm r}}\!=\!1$ es bastante amplio, por lo cual es frecuente su uso en diversos modelos de la física atómica. Se deja como ejercicio demostrar la relación

$$[$$${r}$$$,\hat{H}_o] = \frac{i\hbar}{\mu}$$   ${\hat{p}}$$$\;,$$

donde $\hat{H}_o$ es el hamiltoniano para el electrón en el campo central del átomo (sin perturbación), la cual permite expresar las probabilidades de transición en términos de los elementos de matriz $\left\langle f \right\vert$${r}$$\left\vert i \right\rangle$, pues

$$\left\langle f \right\vert e^{\pm i{\bm k}\cdot{\bm r}} \hat{\epsilon}_\lambda^{(*)}\cdot$$${\hat{p}}$$$\left\vert i \right\rangle = \hat{\epsilon}_\lambda^{(*)}\cdot \left\langle f \right\vert$$${\hat{p}}$$$\left\vert i \right\rangle = -\frac{i\mu}{\hbar}\hat{\epsilon}_\lambda^{(*)} \cdot \left\langle f \right\vert[$$${r}$$$,\hat{H}_o]\left\vert i \right\rangle = i\mu \omega_{fi} \hat{\epsilon}_\lambda^{(*)} \cdot \left\langle f \right\vert$$${r}$$$\left\vert i \right\rangle \;.$$

Sustituyendo en las expresiones anteriores se obtienen las tasas para las transiciones dipolares eléctricas o ``E1''. El cálculo utilizando el teorema de Wigner-Eckart está incluido en los ejemplos que habíamos visto oportunamente. Las transiciones dipolares posibles son las permitidas por las reglas de selección, que pueden resumirse en las condiciones

$${}^{_\bullet}\; m_f-m_i=-1,0,1 \;, \qquad {}^{_\bullet}\; \ell_f-\ell_i=\pm 1 \;.$$