Aproximación dipolar.

Al evaluar las tasas de transición, suele recurrirse a expresiones aproximadas a partir de la expansión

$$e^{\pm i{\bm k}\cdot{\bm r}} = 1 \pm i\,\bm{k}\cdot\bm{r} - \frac{1}{2} (\bm{k}\cdot\bm{r})^2 + \cdots$$

en el caso $\bm{k}\cdot\bm{r}\ll 1$. Para emisiones con longitudes de onda en el visible o ultravioleta, tomando $r\,$ comparable al radio de Bohr, $kr<10^{-2}\,$, de manera que el rango de validez de la aproximación dipolar $e^{\pm{\bm k}\cdot{\bm r}}\!=\!1\,$ es bastante amplio, por lo cual es frecuente su uso en diversos modelos de la física atómica. Se deja como ejercicio demostrar la relación

$$[\bm{r},\hat{H}_o] = \frac{i\hbar}{\mu} \bm{\hat{p}} \;,$$

donde $\hat{H}_o\,$ es el hamiltoniano para el electrón en el campo central del átomo (sin perturbación), la cual permite expresar las probabilidades de transición en términos de los elementos de matriz $\left\langle f \right\vert\bm{r}\left\vert i \right\rangle$, pues

$$\left\langle f \right\vert e^{\pm i{\bm k}\cdot{\bm r}}\,\hat{\ep... ...da^{(*)} \cdot \left\langle f \right\vert\bm{r}\left\vert i \right\rangle \;.$$

Sustituyendo en las expresiones anteriores se obtienen las tasas para las transiciones dipolares eléctricas o “E1”. El cálculo utilizando el teorema de Wigner-Eckart está incluido en los ejemplos que habíamos visto oportunamente. Las transiciones dipolares posibles son las permitidas por las reglas de selección, que pueden resumirse en las condiciones

$${}^{_\bullet}\; m_f-m_i=-1,0,1 \;, \qquad {}^{_\bullet}\; \ell_f-\ell_i=\pm 1 \;.$$