Descripción cuántica

La emisión espontánea de radiación solo se explica mediante un tratamiento cuántico del campo electromagnético. Para ello es necesario analizar los campos cuando aportan un número pequeño de fotones, que es donde se pone en evidencia la cuántica; en esa descripción debemos utilizar el principio de correspondencia y reemplazar los diferentes campos ($\bm{A}$, $\bm{E}\,$ y $\bm{B}$) por operadores. Expandimos entonces el potencial vector (clásico) como una superposición de todos los modos electromagnéticos posibles, representados por los vectores de onda $\bm{k}\,$ y las polarizaciones $\hat{\epsilon}_\lambda\,$ permitidas

$$\bm{A}(\bm{r},t) = \frac{1}{\sqrt{V}} \sum_{\bm k} \sum_{\lambda=... ...,\hat{\epsilon}_\lambda^* e^{-i({\bm k}\cdot{\bm r}-\omega_k t)} \right] \;,$$

donde nuevamente suponemos que el campo está confinado a una cavidad de volumen $V\,$ suficientemente grande, y se imponen condiciones de contorno periódicas. Teniendo presente que $\vert\hat{\epsilon}\vert\!=\!1\,$ y $\omega_k\!=\!c k\,$ la energía asociada al campo puede escribirse (siempre en cgs)

$$H_r = \frac{1}{8\pi} \int_V \,{\rm d}^3 r\; \Bigl[ E^2(\bm{r},t) ... ...m k} \sum_{\lambda=1}^2 (\hbar k)^2 A_{\lambda,\bm k}^* A_{\lambda,\bm k} \;,$$

y definiendo las variables canónicamente conjugadas

$$q_{\lambda,\bm k} = \frac{1}{\sqrt{4\pi c^2}} \left(A_{\lambda,\bm k}^* + A_{\lambda,\bm k}\right)$$   y$$\qquad p_{\lambda,\bm k} = \frac{i\,\omega_k}{\sqrt{4\pi c^2}} \left(A_{\lambda,\bm k}^* - A_{\lambda,\bm k}\right) \;,$$

podemos escribir la expresión para el hamiltoniano clásico asociado al campo de radiación

$$H_r = \frac{1}{2} \sum_{\bm k}\sum_{\lambda=1}^2 \Bigl( p_{\lambda,\bm k}^2 + \omega_k^2\, q_{\lambda,\bm k}^2 \Bigr) \;.$$

Así visualizamos el campo electromagnético como un conjunto de osciladores armónicos asociados a todos los vectores de onda $\bm{k}\,$ y polarizaciones $\hat{\epsilon}_\lambda\,$ permitidos. La cuantización de estos osciladores mediante el procedimiento habitual de considerar los operadores $\hat{q}_{\lambda,\bm k}\,$ y $\hat{p}_{\lambda,\bm k}\,$ nos lleva a las relaciones de conmutación

$$\Bigl[ \hat{q}_{\lambda_1,{\bm k}_1},\hat{p}_{\lambda_2,{\bm k}_2... ...r] = i\hbar\, \delta_{\lambda_1,\lambda_2}\, \delta_{{\bm k}_1,{\bm k}_2} \;.$$

Definimos los operadores aniquilación y creación respectivamente como

$$\hat{a}_{\lambda,\bm k} = \sqrt{\frac{\omega_k}{2\hbar}}\, \hat{q}_{\lambda,\bm k} + \frac{i}{\sqrt{2\hbar\omega_k}}\,\hat{p}_{\lambda,\bm k}$$   y$$\qquad \hat{a}_{\lambda,\bm k}^\dagger = \sqrt{\frac{\omega_k}{2... ...{\lambda,\bm k} - \frac{i}{\sqrt{2\hbar\omega_k}}\,\hat{p}_{\lambda,\bm k} \;.$$

Como habíamos visto, al aplicar $\hat{a}_{\lambda,\bm k}\,$ sobre el oscilador ( ${\lambda,\bm k}$) cuando está en su nivel $n_{\lambda,\bm k}\,$, este pasa al nivel $n_{\lambda,\bm k}\!-\!1$, lo que representa la aniquilación de un fotón del modo electromagnético asociado; de la misma manera, la acción de $\hat{a}^\dagger_{\lambda,\bm k}\,$ sobre el oscilador ( ${\lambda,\bm k}$) es llevarlo del nivel $n_{\lambda,\bm k}\,$ al $n_{\lambda,\bm k}\!+\!1$, correspondiente a la creación de un fotón. Los autovalores del operador número $\hat{n}_{\lambda,\bm k}=\hat{a}_{\lambda,\bm k}^{\dagger}\,\hat{a}_{\lambda,\bm k}^{\rule[-0.2em]{0em}{0em}}\,$ asociado a cada modo electromagnético son los números de fotones que pueblan ese modo, y el autoestado $\left\vert n \right\rangle _{\lambda,\bm k}^{\rule{0em}{0.3em}}\,$ normalizado se puede obtener mediante la aplicación sucesiva del operador creación al estado fundamental

$$\left\vert n \right\rangle _{\lambda,\bm k} = \frac{1}{\sqrt{n_{\... ...bda,\bm k}^{\dagger}\right)^{n_{\lambda,\bm k}} \left\vert 0 \right\rangle \;.$$

Vemos entonces que al pasar a la descripción cuántica los coeficientes $A_{\lambda,\bm k}\,$ y $A_{\lambda,\bm k}^*\,$ se transforman en los operadores

$$\hat{A}_{\lambda,\bm k} = \sqrt{\frac{2\pi\hbar c^2}{\omega_k}}\, \hat{a}_{\lambda,\bm k}$$   y$$\qquad \hat{A}_{\lambda,\bm k}^\dagger = \sqrt{\frac{2\pi\hbar c^2}{\omega_k}}\,\hat{a}_{\lambda,\bm k}^\dagger \;,$$

con lo cual el operador asociado al potencial vector resulta

$$\bm{\hat{A}}(\bm{r},t) = \sum_{\bm k}\sum_{\lambda=1}^2 \sqrt{\f... ...\, e^{-i({\bm k}\cdot{\bm r}-\omega_k t)} \hat{\epsilon}_\lambda^* \right]\;,$$

de modo que la perturbación se escribe

$$\hat{W}(t) = \frac{e}{\mu} \sum_{\bm k}\sum_{\lambda=1}^2 \sqrt{... ...i\omega_k t} + \hat{v}_{\lambda,\bm k}^\dagger\, e^{-i\omega_k t} \right) \;,$$

donde

$$\hat{v}_{\lambda,\bm k} = \frac{e}{\mu}\sqrt{\frac{2\pi\hbar}{\om... ...\, e^{-i{\bm k}\cdot{\bm r}} \, \hat{\epsilon}_\lambda^*\cdot\bm{\hat{p}} \;.$$

Esta expresión nos evidencia que la acción del campo electromagnético sobre el átomo es una superposición de perturbaciones armónicas, similares a las que teníamos en la descripción clásica: los elementos de matriz que involucran a $\hat{v}_{\lambda,\bm k}\,$ corresponden a la emisión de un cuanto de energía radiante $\hbar\omega_k\,$, y los que involucran a $\hat{v}_{\lambda,\bm k}^\dagger\,$, a la absorción de un fotón. Esto se refleja también en la definición que hicimos de $\hat{v}\,$ asociado a $\hat{a}^\dagger\,$, es decir a la creación de un cuanto de radiación, y por lo tanto $\hat{v}^\dagger\,$ queda asociado a la aniquilación de un fotón ($\hat{a}$).

El sistema conjunto del átomo más el campo de radiación se describe inicialmente mediante el vector de estado

$$\left\vert \Phi_i \right\rangle = \left\vert i \right\rangle \otimes \left\vert n_{\lambda,\bm k} \right\rangle \;,$$

donde $\left\vert i \right\rangle \,$ y $\left\vert n_{\lambda,\bm k} \right\rangle \,$ son los estados iniciales separados del átomo y del campo, respectivamente. Luego de la interacción, en el caso en que ocurra la emisión de un fotón el estado final será

$$\rule{8em}{0em} \left\vert \Phi_f \right\rangle = \left\vert f \right\rangle \otimes\left\vert n_{\lambda,\bm k}+1 \right\rangle$$   (emisión)$$\;.$$

En este caso el modo ( $\lambda,\bm k$) incorpora un fotón, y la probabilidad de transición del sistema involucra entonces el elemento de matriz de $\hat{v}_{\lambda,\bm k}\,$

$$\left\langle{\Phi_f}\left\vert\hat{v}_{\lambda,\bm k}\right\vert\Phi_i\right\rangle = \frac{e}{\mu}\sqrt{\frac{2\pi\hbar}{\omega_k V}}\, \left\langle... ...ert \hat{a}_{\lambda,\bm k}^\dagger \right\vert n_{\lambda,\bm k} \right\rangle$$

$$= \frac{e}{\mu}\sqrt{\frac{2\pi\hbar}{\omega_k V}}\,\sqrt{n_{\lam... ... r}} \, \hat{\epsilon}_\lambda^*\cdot\bm{\hat{p}}\right\vert i\right\rangle \;.$$

Aquí puede verse que cuando el átomo se encuentra en un estado excitado y no interactúa con ningún campo ( $n_{\lambda,\bm k}\!=\!0$), la descripción cuántica permite predecir la emisión espontánea (para lo cual el enfoque clásico fallaba), ya que en este caso los elementos de matriz son distintos de cero, y aparecen aun en ausencia de campo externo (fluctuaciones de vacío).

Las tasas de transición se obtienen de manera similar a las que ya habíamos descripto para cualquier perturbación armónica, en términos de las energías de los estados inicial ($E_i\,$) y final ($E_f\,$), resultando para la emisión

$$\fbox{\ \ $\Gamma_{i\to f}^{\rm\ (emi)\rule[-0.3em]{0em}{1em}} = ... ...t\rangle \Bigr\vert^2 \delta(E_f-E_i+\hbar\omega) \rule[-1.2em]{0em}{3em} $ }$$

y para la tasa de absorción

$$\fbox{\ \ $\Gamma_{i\to f}^{\rm\ (abs)\rule[-0.3em]{0em}{1em}} = ... ...angle \Bigr\vert^2 \delta(E_f-E_i-\hbar\omega)\;. \rule[-1.2em]{0em}{3em} $ }$$