Perturbaciones adiabáticas (basado en Griffiths)

Esta aproximación se utiliza para hamiltonianos que evolucionan lentamente en el tiempo: quizás los cambios en $V(t)$ son importantes, pero ocurren a lo largo de cierto intervalo bastante mayor que los períodos $\tau$ propios del sistema estudiado, relacionados con transiciones entre dos estados “contiguos” de energías $E_i$ y $E_n\,$ —nos restringimos a sistemas no degenerados. Numéricamente, esperamos que se cumplan relaciones representativas del tipo

$$\bigg\vert \frac{\partial V}{\partial t}\bigg\vert \ll \frac{\vert E_i-E_n\vert}{\tau} \;,$$

donde sabemos que se podrían intercambiar cuantos de energía de magnitud $\hbar\omega=\vert E_i-E_n\vert$. El teorema adiabático establece que los autoestados $\left\vert \varphi_j(t) \right\rangle$ del hamiltoniano instantáneo $\hat{H}(t)$ van cambiando continua y suavemente, de manera que si el sistema se encuentra inicialmente en el $n$-ésimo estado, en instantes posteriores se encontrará en el estado $n$-ésimo del nuevo hamiltoniano instantáneo; es decir, el sistema no realiza transiciones bajo esta hipótesis.

Para demostrar este teorema, debemos tener en cuenta que la ecuación de autovalores del hamiltoniano en cada instante

$$\hat{H}(t)\,\left\vert \varphi_n(t) \right\rangle = E_n(t)\,\left\vert \varphi_n(t) \right\rangle$$ (45)

involucra también autoenergías $E_n(t)\,$ que dependen de $t\,$. Estos autoestados conforman un conjunto completo en el correspondiente espacio de Hilbert, con la restricción habitual de ortonormalidad $\left\langle \varphi_n(t) \,\vert\, \varphi_m(t) \right\rangle =\delta_{nm}\,$. Para la solución general de la ecuación de Schrödinger

$$i\hbar\, \frac{\,{\rm d}\,}{\,{\rm d}t}\!\!{\rule{0em}{0.9em}}^{\... ...left\vert \psi(t) \right\rangle } = \hat{H}(t) \left\vert \psi(t) \right\rangle$$ (46)

tenemos presente que para hamiltonianos independientes del tiempo con autoestados estacionarios $\left\vert \phi_n \right\rangle$, la solución general se expresa como

$$\sum_n b_n\, e^{-\frac{\mbox{\scriptsize$it$}}{\mbox{\scriptsize$\hbar$}}E_n}\left\vert \phi_n \right\rangle \;,$$

de manera que definiendo

$$\theta_n(t) \equiv -\frac{1}{\hbar}\int_0^t \,{\rm d}t'\; E_n(t')$$

podemos escribir

$$\left\vert \psi(t) \right\rangle = \sum_n c_n(t)\, e^{i\theta_n(t)}\left\vert \varphi_n(t) \right\rangle \;.$$

Sustituimos esta expresión en la ecuación de Schrödinger (46) y obtenemos

$$i\hbar\sum_n \left[ \dot{c}_n\left\vert \varphi_n \right\rangle +... ..._n\, e^{i\theta_n} \left(\hat{H}\left\vert \varphi_n \right\rangle \right) \;.$$

Como $\dot{\theta}_n=-E_n/\hbar$, el último término de la izquierda se cancela con el miembro de la derecha (ejercicio), y por lo tanto debe cumplirse

$$\sum_n \dot{c}_n\left\vert \varphi_n \right\rangle e^{i\theta_n} = -\sum_n c_n\left\vert \dot{\varphi}_n \right\rangle e^{i\theta_n} \;.$$

Proyectando sobre $\left\langle \varphi_m \right\vert$ arribamos a

$$\dot{c}_m(t) = -\sum_n c_n\,e^{i(\theta_n-\theta_m)} \left\langle \varphi_m \,\vert\, \dot{\varphi}_n \right\rangle \;.$$

Para expresar $\left\langle \varphi_m \,\vert\, \dot{\varphi}_n \right\rangle$ derivamos la ecuación de autovalores (45) con respecto a $t$

$$\dot{\hat{H}}\left\vert \varphi_n \right\rangle + \hat{H}\left\ve... ...ft\vert \varphi_n \right\rangle + E_n\left\vert \dot{\varphi}_n \right\rangle$$

y proyectamos sobre $\left\langle \varphi_m \right\vert$

$$\left\langle \varphi_m \right\vert\dot{\hat{H}}\left\vert \varphi... ...{mn} + E_n\,\left\langle \varphi_m \,\vert\, \dot{\varphi}_n \right\rangle \;.$$

Recordando que $\hat{H}$ es hermitiano, para $n\neq m$ podemos escribir

$$\left\langle \varphi_m \right\vert\dot{\hat{H}}\left\vert \varphi... ... (E_n-E_m)\,\left\langle \varphi_m \,\vert\, \dot{\varphi}_n \right\rangle \;,$$

de manera que (recordemos que no hay degeneración)

$$\dot{c}_m(t) = - c_m\left\langle \varphi_m \,\vert\, \dot{\varphi... ...{\mbox{\scriptsize$\hbar$}}\int_{_0}^{^t}\!\,{\rm d}t'\,[E_n(t')-E_m(t')]} \;.$$

En esta solución exacta introducimos la aproximación adiabática: los elementos de matriz de $\dot{\hat{H}}$ son tan pequeños que el segundo término puede despreciarse, lo que implica

$$\dot{c}_m(t) = - c_m\left\langle \varphi_m \,\vert\, \dot{\varphi}_m \right\rangle \;.$$

Definiendo

$$\gamma_m(t) \equiv i\int_0^t \,{\rm d}t' \left\langle \varphi_m(t... ...arphi_m(t')\rule{-1.3em}{0em}}{\partial t'}\rule{1.2em}{0em} \right\rangle \;,$$

que es real pues

$$\int_0^t \,{\rm d}t'\left\langle \varphi_m \,\vert\, \dot{\varphi... ..., \varphi_m \right\rangle \qquad\Rightarrow\qquad {\rm Re\,}(i\gamma_m)=0 \;,$$

la solución resulta

$$c_m(t) = c_m(0)\,e^{i\gamma_m(t)} \;.$$

Entonces, cuando el sistema comienza en el $n$-ésimo estado, con $c_n(0)\!=\!1$ y $c_{m\neq n}(0)\!=\!0$ (o bien $c_m(0)\!=\!\delta_{mn}$), entonces

$$\fbox{\ \ $\left\vert \psi(t) \right\rangle = \displaystyle e^{i\... ...t)}\,\left\vert \varphi_n(t) \right\rangle \;, \rule[-0.8em]{0em}{2.2em} $\ }$$

es decir, el sistema queda siempre en el estado $n$-ésimo, sin realizar transiciones.

Tomemos como ejemplo el caso de un electrón de masa $m_e$ en reposo bajo un campo magnético rotante

$$B(t) = B_o \left[ \sen \alpha \cos(\omega t)\,\hat{\imath} - \se... ...ega t)\,\hat{\jmath} + \cos\alpha\,\hat{k} \right] = B_o\,\hat{\bm{n}}(t) \;,$$

para el cual, como vimos en la sección §1.4 (con $g_s=2$), el hamiltoniano resulta (ejercicio)

$$\hat{H}(t) = \frac{e}{m_e\,c}\bm{B}\cdot\bm{\hat{S}} = \frac{\hba... ...ay}\right) \;\textcolor{gray}{, \qquad\quad\omega_o=\frac{e\,B_o}{m_e\,c}} \;.$$

Siguiendo la notación de aquellos buenos tiempos, escribimos los autoestados del sistema (según la dirección instantánea $\hat{\bm{n}}(t)$ del campo) como

$$\left\vert +\,\hat{\bm{n}}(t) \right\rangle = \left(\begin{array}... ...} \\ \cos(\alpha/2)\;e^{i\omega t/2} \rule{0em}{1.5em} \end{array}\right) \,$$

asociados a los autovalores $E_{\pm}=\hbar\omega_o/2$. Si el estado inicial es

$$\left\vert \chi(0) \right\rangle = \left(\begin{array}{c} \cos(\alpha/2) \\ \sen (\alpha/2) \rule{0em}{1.2em} \end{array}\right) \;,$$

definiendo $\nu\equiv\sqrt{\omega^2+\omega_o^2+2\,\omega\,\omega_o\,\cos\alpha\rule{0em}{.8em}}$, la solución exacta para el sistema es (ejercicio)

$$\left\vert \chi(t) \right\rangle = \left[\cos\frac{\nu t}{2} - i... ...\frac{\nu t}{2}e^{-i\omega t/2}\left\vert -\,\hat{\bm{n}}(t) \right\rangle \;.$$

De aquí extraemos la probabilidad (exacta) de transición al estado $\left\vert -\hat{\bm{n}}(t) \right\rangle$ como

$$\big\vert\left\langle -\hat{\bm{n}}(t) \,\vert\, \chi(t) \right\r... ...rt^2 = \left[\frac{\omega}{\nu}\sen \alpha\,\sen \frac{\nu t}{2}\right]^2 \;.$$

El tiempo caracterísitco de cambios en la función de onda del sistema es $\tau=1/\omega_o=\hbar/(E_+\!-\!E_-)$, y el teorema adiabático establece que esta probabilidad de transición debe anularse en el limite $T\gg\tau$, donde $T=1/\omega$ es el tiempo característico de cambios en el hamiltoniano. Esta condición implica $\omega\ll\omega_o$, es decir que el campo rote lentamente frente a la frecuencia de Larmor propia del campo $B_o\,$: en el régimen adiabático entonces, $\nu\simeq\omega_o$ y por lo tanto

$$\big\vert\left\langle -\hat{\bm{n}}(t) \,\vert\, \chi(t) \right\r... ...ft[\frac{\omega}{\omega_o}\sen \alpha\,\sen \frac{\nu t}{2}\right]^2 \to 0 \;,$$

como anticipan las hipótesis, o lo que es lo mismo, $c_+(0)=1\,$ y $c_-(t)=0\,$ para cualquier $t\,$: la rotación es tan lenta que el campo arrastra el espín, que siempre se orienta con $\bm{B}$ sin que haya transiciones.

La aproximación adiabática se utiliza en muchas situaciones físicas, y aquí podemos mencionar algunos ejemplos conocidos. En primer lugar, cuando se deflectan átomos mediante un campo magnético inhomogéneo, no se desean provocar transiciones entre estados de momento angular intrínseco, exactamente como describimos que se espera en un experimento de Stern-Gerlach. Al diseñar uno de estos experimentos deben calibrarse entonces los gradientes para que al tratar el hamiltoniano de interacción dipolar como perturbación, durante el recorrido de los átomos por esa region se cumpla la condición de que sus cambios sean pequeños frente a los tiempos asociados con las transiciones que reorientan el espín en cuestión (spin-flip).

Cuando analizamos las colisiones entre las moléculas de un gas que deseamos considerar como masas puntuales (o'clock), es necesario que el tiempo que dura la interacción entre ellas no alcance para provocar transiciones electrónicas que modifiquen los estados moleculares iniciales. Esto es equivalente a controlar que se cumpla la hipótesis adiabática durante la interacción: cuando la densidad del gas o su temperatura hacen que la intensidad de la colisión sea más importante, el proceso no puede considerarse adiabático y por lo tanto no puede aplicarse esta aproximación.