Aproximación repentina

Cuando $\hat{H}\,$ es independiente del tiempo excepto por un cambio abrupto en un intervalo muy pequeño, también es de esperar que el vector de estado del sistema afectado cambie poco, aunque la expansión en los autoestados del hamiltoniano final puede resultar diferente de la original. Cuando utilizamos los autovectores del hamiltoniano inicial $\hat{H}_o\,$ ($t<0$)

$$\hat{H}_o \left\vert n \right\rangle = E_n^{(0)} \left\vert n \right\rangle$$

y el hamiltoniano que gobierna la evolución del sistema pasa repentinamente de $\hat{H}_o\,$ a $\hat{H}\,$ (con $\hat{H}\!-\!\hat{H}_o\,$ no necesariamente pequeño), para $t>0$ podemos expresar el estado del sistema en término de los autoestados $\left\vert \phi_m \right\rangle \,$ de $\hat{H}\,$

$$\left\vert \Phi(t) \right\rangle = \sum_n c_n e^{-\frac{\mbox{\s... ...\left\vert \phi_n \right\rangle =E_n\left\vert \phi_n \right\rangle \;\big) \;$$

Si originalmente ($t\!=\!0$) el sistema se encuentra en un autoestado $\left\vert m \right\rangle \,$ de $\hat{H}_o\,$, podemos expresar

$$\left\vert m \right\rangle = \sum_n c_n\left\vert \phi_n \right\rangle \;,$$   con$$\quad c_n = \left\langle \phi_n \,\vert\, m \right\rangle \;$$

El módulo al cuadrado de este coeficiente representa la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado $\left\vert \phi_m \right\rangle \,$ una vez que ocurrió el cambio repentino de $\hat{H}_o\,$ a $\hat{H}\,$. A menudo nos referimos a esta como la probabilidad de transición del estado $m\,$ al $n\,$, aunque se trata de autoestados de diferentes hamiltonianos

$$P_{mn} = \left\vert \left\langle \phi_n \,\vert\, m \right\rangle \right\vert^2 \;.$$

Para ejemplificar uno de estos procesos, mencionemos el decaimiento $\beta$ de un núcleo atómico. En este proceso es emitido un electrón (partícula $\beta$) por el núcleo, al tiempo que un neutrón del mismo se convierte en un protón. Si bien la energía cinética de estas partículas emitidas puede tomar diferentes valores, en general se eyectan con velocidades muy altas, de manera que a los fines prácticos la carga del núcleo pasa de contar con $Z$ protones a $Z+1$ en un intervalo que es unas 100 veces menor que los períodos propios de los electrones a su alrededor. Las expresiones presentadas arriba nos permiten expandir la función de onda inicial de los electrones en términos de las autofunciones asociadas al potencial dado por la nueva carga nuclear de $Z+1$ protones, y de este modo estimar la probabilidad de que la nube electrónica quede en un estado final excitado como consecuencia de la emisión $\beta$: este fenómeno se evidenciará entonces a través de la posterior emisión de radiación característica correspondiente al consiguiente relajamiento atómico.