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Ángulo crítico

El índice de refracción en la materia puede escribirse como

$$n = 1 - \delta - i \beta \;,$$

donde $\delta$ es un número real $\sim 10^{-6}$ -$10^{-5}$ para rayos x⁵, mientras que la atenuación es descripta en términos del coeficiente de atenuación lineal $\mu$ y la longitud de onda $\lambda$ de la radiación incidente mediante el parámetro $\beta=\mu\lambda/(4\pi)$ . A través de la teoría de dispersión clásica puede obtenerse una expresión para $\delta$ en términos de la densidad de electrones en el material $n_e=N_A \rho Z/A$ ($N_A$ es el número de Avogadro y $\rho$ la densidad del material), válida lejos de bordes de absorción

$$\delta = \frac{n_e e^2 \lambda^2}{2\pi m c^2} \;,$$ (5)

donde $e$ y $m$ son la carga y la masa del electrón respectivamente y $c$ es la velocidad de la luz.

A partir de la ley de Snell, la condición para el ángulo crítico $\phi_c$ se escribe

$$\cos\phi_c = 1-\delta \;.$$

Como $\delta$ es pequeño, también lo será $\phi_c$ , de modo que puede realizarse una expansión en serie de Taylor obteniendo

$$\phi_c = \sqrt{2\delta} \;.$$

Si escribimos $\lambda [$Å$]=12,4/E [$keV$]$ y reemplazamos la expresión (5) en la fórmula anterior, obtenemos

$$\phi_c = \frac{99,1}{E} \sqrt{\frac{Z \rho}{A}}$$

en minutos (de grado sexagesimal). Los valores típicos de $\phi_c$ rondan los 10min; este valor no necesariamente debe ser conocido con precisión, sino más bien debe utilizarse para saber en qué rango aproximado se cumple la condición de reflexión total.

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