Momento angular

Además del movimiento de traslación, es útil incorporar el momento angular de una partícula $\bm{J}_i=\bm{r}_i\times\bm{p}_i=m_i\bm{r}_i\times\bm{v}_i$, el cual depende del origen de coordenadas que escogemos, por lo que siempre conviene especificar el referencial inercial empleado: si el origen de coordenadas $Q$ de ese referencial se señala mediante el vector $\bm{r}_{\!_Q}$, y se desplaza con velocidad constante $\bm{v}_{_Q}$, el momento angular total respecto de $Q$ es

$$\bm{J}_{\!_Q} = \sum_{i=1}^N m_i(\bm{r}_i\!-\!\bm{r}_{\!_Q})\!\times\!(\bm{v}_i-\bm{v}_{_Q}) \;,$$

y su evolución puede calcularse como

$$\frac{{\rm d}\bm{J}_{\!_Q}}{{\rm d}t} = \sum_{i=1}^N (\bm{r}_i\!... ...i=1}^N m_i(\bm{v}_i\!-\!\bm{v}_{\!_Q})\!\times\!(\bm{v}_i\!-\!\bm{v}_{_Q}) \;.$$

El producto vectorial en el último término se anula, y recordando que $\dot{\bm{p}}_i= \sum_j \bm{F}_{ij} + \bm{F}_i^{\rm (e)}$

$$\frac{{\rm d}\bm{J}_{\!_Q}}{{\rm d}t} = \sum_{\substack{i,j=1\\ j... ...!\times\!\bm{F}_i^{\rm (e)}}_{\bm{{\displaystyle\uptau}^{\rm (e)}}_{\!_Q}} \;.$$

Denotaremos entonces a la resultante de los torques externos con $\bm{\uptau^{\rm (e)}}_{\!_Q}$. Teniendo presente que $i,j$ son índices mudos y que $\bm{F}_{ji} = -\bm{F}_{ij}$, reescribimos el primer término (ejercicio)

$$\frac{{\rm d}\bm{J}_{\!_Q}}{{\rm d}t} = \frac{1}{2}\left[ \sum_{... ...bm{r}_i\!-\!\bm{r}_j)\!\times\!\bm{F}_{ij} + \bm{\uptau^{\rm (e)}}_{\!_Q} \;.$$

Vemos que en los casos en que $\bm{F}_{ij}\parallel(\bm{r}_i\!-\!\bm{r}_j)$ el primer término de la derecha se anula, de manera que

$$\frac{{\rm d}\bm{J}_{\!_Q}}{{\rm d}t} = \bm{\uptau^{\rm (e)}}_{\!_Q} \;.$$

Esta identidad vectorial nos indica que cuando el torque externo (o alguna de sus componentes) sobre un sistema se anula, entonces se conserva el momento angular total $\bm{J}_{\!_Q}$ (o la correspondiente componente).

Muchas veces resulta conveniente expresar los $\bm{r}_i$ en términos de la posición $\bm{R}$ del centro de masa del sistema y las posiciones relativas al centro de masa $\bm{r}'_i$

$$\bm{r}_i = \bm{R}+\bm{r}'_i \;,\qquad\qquad \bm{v}_i = \bm{V}+\bm{v}'_i \qquad\qquad (\bm{V}\equiv\dot{\bm{R}})$$

(aquí estamos eligiendo $\bm{r}_{\!_Q}\!=\!0$). Entonces resulta

$$\bm{J}_{\color{lightgray}_{\!Q=0}} = \sum_{i=1}^N m_i(\bm{R}+\bm{... ...}^N m_i\bm{v}'_i\right)\!} + \sum_{i=1}^N m_i\bm{r}'_i\!\times\!\bm{v}'_i \;,$$

donde notamos que el paréntesis del segundo término de la derecha representa la posición del centro de masa desde el centro de masa, que evidentemente se anula; lo mismo ocurre con el otro paréntesis, que indica la velocidad del centro de masa, también descripta desde el centro de masa. De este modo resulta

$$\bm{J} = \bm{R}\times\bm{P} + \sum_{i=1}^N m_i\bm{r}'_i\!\times\!\bm{v}'_i \;,$$

donde el primer término da cuenta del momento angular orbital, que solo considera el movimiento de traslación, como si representáramos a todo el sistema como una partícula puntual, aglutinando toda su masa en la posición $\bm{R}$; mientras que el segundo término señala el momento angular de espín, es decir, visto desde el centro de masa. Claramente, el primer término depende de la elección del referencial empleado para describir la dinámica del sistema, mientras que el momento angular de espín $\bm{J}_s$ es independiente del referencial escogido. En particular, más adelante repasaremos el caso de un cuerpo rígido, en el que todos los $\bm{r}'_i$ solo cambian de orientación (no en módulo) con una velocidad angular $\bm{\omega}$, a través de la relación $\bm{v}'_i\!=\!\bm{\omega}\!\times\!\bm{r}'_i$: en cuerpos simétricos en los que la rotación ocurre alrededor de un eje de simetría, puede relacionarse el momento angular de espín con $\bm{\omega}$ mediante el momento de inercia $I_o$ alrededor de un eje de rotación que pase por el centro de masa, a través de la igualdad $\bm{J}_s=I_o\,\bm{\omega}$.