Teorema virial

Siempre que un sistema abarca una región finita en el espacio y es gobernado por un potencial $U(r)$ que es una función homogénea de las coordenadas, pueden relacionarse de manera sencilla los valores medios (a lo largo del tiempo) de las energías cinética y potencial.

Como la energía cinética $T$ es cuadrática en las velocidades $\bm{v}_i\,$, sabemos que se cumple

$$\sum_i \bm{v}_i\cdot\bm{p}_i = \sum_i \bm{v}_i\cdot \frac{\partial T}{\partial\bm{v}_i} = 2T \;,$$

y como

$$\bm{v}_i = \frac{{\rm d}\bm{r}_i}{{\rm d}t} \quad\Rightarrow\quad... ...( \sum_i \bm{r}_i\cdot\bm{p}_i \right) - \sum_i \bm{r}_i\cdot\bm{\dot{p}}_i \;.$$ (19)

Teniendo presente las ecuaciones de Euler-Lagrange, sabemos también que

$$\bm{\dot{p}}_i = \frac{\partial L}{\partial\bm{r}_i} \;.$$

Al realizar un promedio temporal $\bar{f}$ de cualquier función del tiempo que pueda escribirse como

$$f(t) = \frac{{\rm d}F}{{\rm d}t} \;,$$

podemos expresar para el valor medio al cabo de un intervalo $\tau$ suficientemente grande

$$\bar{f} = \frac{1}{\tau} \lim_{\tau\to\infty}\int_0^\tau {\rm d}t... ...frac{{\rm d}F}{{\rm d}t} = \lim_{\tau\to\infty} \frac{F(\tau)-F(0)}{\tau} \;,$$

de manera que siempre que $F$ sea acotada, este promedio temporal se anula, ya que el denominador de la expresión anterior diverge. Volviendo a nuestro sistema de partículas que evoluciona en una región finita del espacio, es decir tanto los $\bm{r}_i$ como los $\bm{p}_i$ permanecen acotados, entonces al tomar el valor medio de (19) debe cumplirse

$$2\bar{T} = 0 - \overline{\sum_i \bm{r}_i\cdot\bm{\dot{p}}_i} = + \overline{\sum_i \bm{r}_i\cdot\frac{\partial U}{\partial\bm{r}_i}} \;.$$

Cuando $U$ es una función homogénea de grado $k$ de las coordenadas, es decir $U(\beta\bm{r})=\beta^kU(\bm{r})$, entonces se cumple

$$\hspace{9em} \bm{r}_i\cdot\frac{\partial U}{\partial\bm{r}_i} = k\,U(\bm{r}_i)$$   (teorema de Euler)$$\;,$$

de manera que

$$2\bar{T} = k\,\bar{U} \;,$$

y como $\bar{T}+\bar{U}=\bar{E}=E\;$ (constante), entonces se cumple (ejercicio)

$$\bar{U} = \frac{2}{k+2} E$$   y$$\qquad \bar{T} = \frac{k}{k+2} E \;.$$

Estas identidades se conocen con el nombre de “teorema virial”, y expresan las relaciones que deben cumplir las energías medias de un sistema mecánico.