Dispersión de partículas o scattering

Cuando dos partículas interactúan pueden suscitarse diferentes cambios en ellas, como deflexiones angulares, conversión de energía en radiación, ionizaciones atómicas, etc. Estas dispersiones son sumamente útiles para extraer información básica sobre la naturaleza de esas interacciones. Entre las muchas posibilidades, nosotros nos concentraremos en los choques elásticos, es decir, consideramos que no se producen cambios internos en las partículas que interactúan, y por lo tanto se conserva la energía mecánica del sistema.

La elección del centro de masa para desarrollar la descripción de la interacción entre dos partículas resulta muy conveniente; en particular, como se trata de un problema de 2 cuerpos, sabemos que la evolución del centro de masa ($\bm{R}$) puede separarse de la masa reducida $\mu$, descripta mediante el vector $\bm{r}=\bm{r}_1-\bm{r}_2$. Consideraremos el caso (bastante general) en que el potencial de interacción solamente depende de la distancia $r=\vert\bm{r}\vert$ entre las partículas, es decir un problema de potencial central para la masa $\mu\,$. Ya vimos que su trayectoria será simétrica con respecto a la posición de máximo acercamiento entre ellas ( $r_{\rm m\acute{\i}n}$); tomamos entonces como medida de la dispersión el ángulo de deflexión $$\psi = \vert\pi-2\phi_o\vert \;,$$ donde sabemos evaluar la desviación angular entre la posición en $r=\infty$ y $\bm{r}_{\rm m\acute{\i}n}$ mediante (18)

$$\phi_o = \int_{r_{\rm m\acute{\i}n}}^\infty {\rm d}r \frac{J/r^2}{\sqrt{2\mu E-2\mu\,U(r)-J^2/r^2}} \;.$$

Recordemos que $r_{\rm m\acute{\i}n}$ es justamente una raíz del radicando del denominador, de manera que tendremos que estar precavidos ante las posibles integrales que enfrentemos.

Cuando $\mu$ se halla suficientemente lejos del centro de potencial (las partículas se encuentran suficientemente alejadas entre ellas), esperamos que $U\to0$ cuando $r\to\infty$, por lo que su energía es solo cinética

$$E = \frac{1}{2}\mu\,v_\infty^2 \;.$$

Con esta notación, podemos evaluar también la magnitud del momento angular $\,J=\mu\,\rho\,v_\infty\,$ donde el apartamiento $\rho$ indicado en la figura anterior se denomina parámetro de impacto. Entonces podemos resolver la integral

$$\phi_o = \bigintss_{r_{\rm m\acute{\i}n}}^\infty {\rm d}r \frac{\rho/r^2}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{\rho^2}{r^2}-\frac{2U}{\mu\,v_\infty^2}}}$$ (20)

para relacionar $\psi$ con $\rho$.

En los experimentos diseñados para analizar fenómenos de dispersión o scattering suele utilizarse un haz de partículas idénticas monoenergético, es decir, todas ellas incidiendo sobre un blanco con $v_\infty$, distribuidas uniformemente en la superficie normal a $\bm{v}_\infty$. Se cuenta entonces con $n$ partículas por unidad de área, y nos interesa asociar el intervalo $[\rho,\rho+{\rm d}\rho]$ con las dispersiones en $[\psi,\psi+{\rm d}\psi]$. Cuando es válida la aproximación de potencial central, las partículas contenidas en la corona delimitada por los parámetros $\rho$ y $\rho+{\rm d}\rho$ se deflectarán en un entorno infinitesimal alrededor de $\psi\,$: se acostumbra a identificar esa dispersión mediante el área frontal (infinitesimal) de dicha corona

$${\rm d}\sigma = 2\pi\,\rho\,{\rm d}\rho \;,$$

que representa la contribución a la sección eficaz de dispersión asociada a las deflexiones ocurridas en el intervalo $[\psi,\psi+{\rm d}\psi]$ correspondiente. En el experimento se colectan ${\rm d}N=n\times2\pi\,\rho\,{\rm d}\rho\,$ partículas deflectadas entre los conos de semiángulos $\psi\,$ y $\psi+{\rm d}\psi$, y se efectúa el cociente ${\rm d}N/n$, que tiene unidades de área, y resulta igual a ${\rm d}\sigma\,$: vemos entonces que ${\rm d}\sigma\,$ es representativa de la probabilidad de tener una interacción que disperse a las partículas cumpliendo alguna condición, que en este caso es el ángulo de deflexión.

Si conocemos la relación explícita $\rho(\psi)$, podemos reescribir ese aporte a la sección eficaz diferencial como

$${\rm d}\sigma = 2\pi\,\rho(\psi) \left\vert \frac{{\rm d}\rho}{{\rm d}\psi} \right\vert {\rm d}\psi \;,$$

donde el módulo $\big\vert{\color{gray}\,\cdot\,}\big\vert$ es importante, ya que en general la función $\rho(\psi)$ es decreciente. La relación anterior suele expresarse en términos del ángulo sólido ${\rm d}\Omega=2\pi\operatorname{sen}\psi\,{\rm d}\psi$ que contiene todas las partículas asociadas al mismo ángulo de deflexión

$${\rm d}\sigma = \frac{\rho(\psi)}{\operatorname{sen}\psi} \left\vert \frac{{\rm d}\rho}{{\rm d}\psi} \right\vert {\rm d}\Omega \;.$$

En base a estas definiciones, se denomina sección eficaz diferencial a la magnitud ${\rm d}\sigma/{\rm d}\Omega$, y análogamente, sección eficaz total a la cantidad

$$\sigma = \int {\rm d}\sigma \;.$$