Redes de Bravais

En este tipo de redes el entorno de cada punto es igual al de cualquier otro punto. Se define entonces una red de Bravais como un arreglo periódico en el cual las unidades de un cristal se repiten regularmente de manera exacta; estas unidades pueden conformarse con un único átomo o con un grupo de átomos.

Una definición equivalente establece que una red de Bravais es el conjunto de todos los puntos con posiciones dadas por los vectores

$$\bm{R} = n_1\,\bm{a}_1 + n_2\,\bm{a}_2 + n_3\,\bm{a}_3 \;,$$   con $$\{\bm{a}_j\}\;(j\!=\!1,2,3)\;$$linealmente independientes y$$\; \{n_j\} \in \mathbb{Z} \;.$$

Los vectores $\{\bm{a}_j\}$ se denominan “vectores primitivos”, y decimos que generan o expanden la red de Bravais. La demostración sobre la equivalencia de ambas definiciones se deja como ejercicio.

La figura ejemplifica una red oblicua en dos dimensiones: cualquier punto de la red tiene un entorno equivalente de puntos vecinos, y puede escribirse como $n_1\,\bm{a}_1\!+n_2\,\bm{a}_2\,$ escogiendo adecuadamente los enteros $n_1$ y $n_2$. Por ejemplo, $R_1\!=\!-2\bm{a}_1\!+\!\bm{a}_2$ y $R_2\!=\!\bm{a}_1\!+\!2\bm{a}_2\,$. El conjunto de vectores primitivos no es único: un ejemplo sencillo se muestra también en la figura, donde $\bm{c}_1\,$ y $\bm{c}_2\,$ pueden elegirse para expandir la red oblicua. La elección no es arbitraria, y se deja como ejercicio encontrar otras elecciones válidas para los vectores primitivos asociados a esta red. Pronto veremos que algunas elecciones particulares favorecen el aprovechamiento de simetrías en una determinada red cristalina. La estructura más sencilla en 3 dimensiones es la red cúbica simple como la de la figura (“SC”): cada sitio de red se ubica en los puntos de este retículo cúbico. Los vectores primitivos $\bm{a}_j$ pueden escogerse ortogonales entre sí, de manera que sus magnitudes $\vert\bm{a}_j\vert$ coinciden con el espaciamiento $a$ entre los sitios de red. En este caso el parámetro de red $a$ es el único parámetro necesario para identificar esta red. De todos modos, debe tenerse presente que cada sitio de red puede relacionarse con un grupo de átomos, a menudo llamado motivo. A pesar de su simpleza, el único elemento que solidifica con esta estructura es el Po; redes compuestas con esta estructura son las de CsCl, CsBr, CsI, TlCl, TlBr y TlI. En el caso de una red plana hexagonal (o un apilamiento 3D de ellas), debe tenerse la precaución de notar que no todos los vértices de los hexágonos

 

son equivalentes, ya que las orientaciones con respecto a los primeros vecinos va cambiando. Dicho de otro modo, no todos los vértices conforman una red de Bravais, aunque este arreglo de átomos define una red cristalina con más de un átomo por sitio: se deja como ejercicio descifrar tamaño enigma.

Cuando se estudian las propiedades termodinámicas, los sistemas considerados son muy extensos, por lo que suele pensarse que las redes cristalinas son infinitas y por lo tanto los efectos de superficie son despreciables. No obstante, al trabajar con fragmentos pequeños de material los análisis deben tener en cuenta de alguna manera el tamaño finito abarcado, siempre que puedan considerarse como sistemas termodinámicos. En el caso de tamaños nanométricos, que gracias a los avances tecnológicos pueden manipularse cada vez con mayor facilidad, debe tenerse presente que ninguna descripción macroscópica puede abarcar sistemas con un número pequeño de partículas, ya que los postulados de la termodinámica no tienen validez. Otro ejemplo interesante es la red cúbica centrada en los cuerpos (de los cubos), que puede pensarse de

dos maneras diferentes: por un lado, como lo indica el nombre, imaginamos una red cúbica simple con un átomo extra en el centro de cada cubo; análogamente, consideramos dos redes cúbicas simples intercaladas, de manera que cada átomo de una red ocupa el centro de los cubos de la otra (y viceversa). En esta figura se indica la elección para los vectores primitivos, tomando respectivamente los versores $\hat{\bm{x}}$, $\hat{\bm{y}}$ y $\hat{\bm{z}}$ paralelos a los $\bm{a}_1$, $\bm{a}_2$ y $\bm{a}_3$ del esquema anterior para la red cúbica simple de parámetro $a$

$$\bm{a}_1=\frac{a}{2} \left( \hat{\bm{y}} + \hat{\bm{z}} - \hat{\b... ...a}_3=\frac{a}{2} \left( \hat{\bm{x}} + \hat{\bm{y}} - \hat{\bm{z}} \right) \;.$$

Pronto veremos que con esta elección se aprovecha de mejor manera la simetría de esta red. Muchos elementos puros solidifican con esta estructura (Li, Na, K, V, Cr, Fe, Nb, Mo, Rb, Ba, Cs, Tl, Ta, W), con parámetros de red entre 3 y 6 Å. Es común referirse a ella como “BCC”, por sus siglas en inglés (body-centered cubic).

También es común la estructura de red cúbica centrada en las caras (“FCC”, face-centered cubic), que como su nombre indica, consiste de una red cúbica simple a la que se agrega un átomo en el centro de cada cara de los cubos. La elección simétrica de los vectores primitivos es

$$\bm{a}_1=\frac{a}{2} \left( \hat{\bm{y}} + \hat{\bm{z}} \right) \... ...;, \qquad \bm{a}_3=\frac{a}{2} \left( \hat{\bm{x}} + \hat{\bm{y}} \right) \;.$$

Esta es la estructura en que se encuentran muchos otros materiales puros en su fase sólida, como Ne, Al, Ar, Ca, Sc, Cu, $\beta$-Co, Ni, Kr, Ag, Ir, Ce, La, Pd, Pt, Au, Pb, con parámetros de red también entre 3 y 6 Å.

En una red de Bravais se identifica como número de coordinación al número de primeros vecinos, entendidos como sitios de red más próximos a otro sitio de red (no necesariamente átomos solos, puede ser un grupo de átomos definiendo el motivo de la red). En el caso de una red SC, el número de coordinación es 6; para una red BCC es 8, y para la FCC, 12. Se deja como ejercicio la verificación de cada caso.