Celda primitiva

Se denomina así al volumen asociado a cada sitio de la red, de modo que al trasladarse hacia todos los puntos de esta, completa todo el espacio sin superposiciones ni dejando espacios huecos. Este volumen puede escogerse de numerosas maneras, lo que puede visualizarse fácilmente analizando la red oblicua plana presentada más arriba: la elección de diferentes celdas primitivas se torna un pasatiempos adictivo.

La celda primitiva contiene 1 solo punto de la red, de modo que si la elegimos permitiendo que sus bordes compartan sitios con celdas vecinas, debe contarse adecuadamente el número de sitios compartidos (ejercicio: verificarlo en la red oblicua). Esto significa que si tenemos $n\,$ sitios por unidad de volumen, y $v\,$ es el volumen de la celda primitiva siempre debe cumplirse (como esperamos)

$$~\hspace{25em} n\,v = 1 \qquad \Longleftrightarrow \qquad v = \frac{1}{n} \;.$$

La celda primitiva puede construirse a partir del conjunto de vectores primitivos elegidos, teniendo presente que el volumen de esta puede evaluarse como $\,v\!=\!\vert\bm{a}_1\cdot(\bm{a}_2\times\bm{a}_3)\vert\,$ (la demostración se deja como ejercicio). A veces puede resultar conveniente recurrir a celdas unidades que se corresponden con varias celdas primitivas; de este modo completamos el espacio sin superposiciones solo si las trasladamos según un subconjunto  de vectores de la red de Bravais correspondiente. Estas celdas guardan algo de la simetría de la red, como sucede con las redes BCC o FCC: podemos describirlas utilizando celdas cúbicas, que en el primer caso contiene el doble de volumen de una celda primitiva (y 2 puntos por celda), mientras que en el segundo, el cuádruple (y 4 puntos por celda). En general, las características de una esctructura cristalina se sintetizan a través

de diferentes constantes de la red, como los parámetros de red (pueden requerirse varios), el número de sitios por celda (si no es la primitiva), los ángulos que la definen, etc. La elección de celda primitiva que respeta al máximo las simetrías de una red es la celda de Wigner-Seitz, que rodea a cada sitio de red de manera que resulta la región más cercana a ese punto, representativa de posiciones equivalentes en el espacio. Independientemente de los vectores primitivos escogidos, se construye conectando con segmentos los vecinos cercanos y tomando los planos normales que bisectan esos segmentos, los cuales delimitan la celda de Wigner-Seitz.

En 3 dimensiones los gráficos se vuelven más complicados, y conviene recurrir a diferentes libros de texto, o sitios de internet como physics-in-a-nutshell.com, donde se ilustran varias propiedades para las redes BCC y FCC.

Con todas estas definiciones, conviene recalcar que la estructura de un cristal se completa especificando qué contiene cada celda unidad, lo que llamamos “base” o “motivo” de la red. Por ejemplo, para el panal de abejas presentado anteriormente, develamos el misterio diciendo que se trata de una red oblicua, cuya base o motivo consiste de dos átomos (ejercicio).

En particular, si la celda unidad escogida no es una celda primitiva, siempre debe especificarse la base de cada celda. Esto ocurre cuando elegimos celdas cúbicas para referirnos a las redes BCC y FCC: en el primer caso se trata de una red SC con dos átomos por celda, uno en $\bm{0}$ y otro en $(a/2)(\bm{\hat{x}}\!+\!\bm{\hat{y}}\!+\!\bm{\hat{z}})$; en el segundo caso, una red SC con cuatro átomos en $\bm{0}$, $(a/2)(\bm{\hat{x}}\!+\!\bm{\hat{y}})$, $(a/2)(\bm{\hat{y}}\!+\!\bm{\hat{z}})$ y $(a/2)(\bm{\hat{x}}\!+\!\bm{\hat{z}})$.

Otra estructura que resaltamos en este contexto es la del diamante, que consiste de dos redes FCC intercaladas, una desplazada de la otra 1/4 sobre una diagonal del cubo. O equivalentemente, es una red FCC con un motivo de dos átomos, uno en $\bm{0}$ y otro en $(a/4)(\bm{\hat{x}}\!+\!\bm{\hat{y}}\!+\!\bm{\hat{z}})$. No solo el diamante presenta esta estructura cristalina: también el silicio, el germanio, o la fase $\alpha$ del estaño gris.

En 3 dimensiones, se llama red hexagonal compacta (o empaquetamiento hexagonal) al apilamiento de redes triangulares planas. Estos apilamientos HCP (por sus siglas en inglés) pueden darse de dos modos: sobre un conjunto de intersticios de la red $A\,$ (ejercicio: verificar que hay dos opciones) se acomoda la red $B$, y encima de ella otra red hexagonal que horizontalmente coincida con la ubicación de la red $A$, o bien de manera que se acomode en los otros intersticios, es decir desplazada respecto de la $A\,$ original. Al primer caso $...ABABAB...$ se alude como empaquetamiento HCP, mientras que el segundo, $...ABCABCABC...$ coincide con la red FCC. Algunas tierras raras (también llamados metales raros) presentan otros empaquetamientos compactos del tipo $...ABACABACABA...$ Muchos elementos solidifican en una estructura HCP, como Be, Mg, Sc, Ti, Zn, Y, Zr, Cd, Ce, Gd, Dy, Hf, Os, Tl, etc.