Red recíproca

Dada una red de Bravais caracterizada por los sitios $\bm{R}$, si la irradiamos con una onda plana cualquiera $e^{i\bm{k}\cdot\bm{r}}$, en general esta no tendrá la periodicidad propia de la red, salvo para ciertos valores de $\bm{k}\,$. El conjunto de todos los vectores de onda $\bm{K}$ que generan ondas planas con la periodicidad de una dada red de Bravais constituye la llamada “red recíproca”.

Los vectores de una red recíproca quedan definidos justamente como aquellos que satisfacen la condición

$$e^{i\bm{K}\cdot(\bm{r}+\bm{R})} = e^{i\bm{K}\cdot\bm{r}} \quad\Leftrightarrow \quad e^{i\bm{K}\cdot\bm{R}} = 1 \;,$$ (3)

para cualquier $\bm{R}$ de la red de Bravais estudiada. Toda red directa $\bm{R}$ tiene asociada una red recíproca $\bm{K}$.

La red recíproca asociada a una red de Bravais también constituye una red de Bravais. La demostración queda como ejercicio, y esencialmente consiste en notar que los vectores primitivos $\{\bm{b}_j\}$ de la red recíproca pueden construirse a partir de los vectores primitivos $\{\bm{a}_j\}$ de la directa mediante las relaciones

$$\begin{array}{ccc} \bm{b}_1 = 2\pi\dfrac{\bm{a}_2\times\bm{a}... ...\bm{a}_2}{\bm{a}_1\cdot(\bm{a}_2\times\bm{a}_3)}\;. \end{array}$$

Estos vectores cumplen la relación $\bm{b}_i\cdot\bm{a}_j\!=\!2\pi\delta_{ij}$, y como cualquier vector de la red recíproca puede expresarse como $\bm{K}=m_1\,\bm{b}_1+m_2\,\bm{b}_2+m_3\,\bm{b}_3$ con $m_i\in\mathbb{Z}$, queda garantizada la condición (3). Las relaciones anteriores nos permiten también demostrar que si el volumen de la celda primitiva de una red es $v$, el volumen de la celda primitiva del espacio recíproco es $(2\pi)^3/v\,$. El hecho de que la red recíproca sea una red de Bravais implica que tiene asociada a su vez una red recíproca: casualmente, esta coincide con la red directa de la cual partimos (otro ejercicio).

Es directo demostrar que la recíproca de una red SC con celda primitiva de lado $a\,$ es otra red SC de lado $2\pi/a\,$; la recíproca de una red BCC con celda convencional de lado $a\,$ es una red FCC de lado $4\pi/a\,$, mientras que la recíproca de una red FCC (siempre con celda convencional de lado $a\,$) es una red BCC de lado $4\pi/a\,$. Una red hexagonal simple plana con parámetro $a$ tiene asociada una red recíproca que también es una red hexagonal simple (ejercicio).