Difracción de rayos x.

En 1913 W.H. y W.L. Bragg (padre e hijo) observaron patrones de difracción en sólidos, que no ocurrían en líquidos: para determinadas longitudes de onda y en direcciones específicas ocurrían máximas intensidades dispersadas (picos de Bragg). Para explicarlos W.L. Bragg pensó a estas estructuras cristalinas como una colección de planos paralelos que dispersan los rayos x: a través de cierta reflexión especular en esos conjuntos de iones se podía explicar la interferencia constructiva que da lugar a esos picos intensos observados.

Para un frente de ondas plano de longitud de onda $\lambda$, analizando la diferencia de camino óptico entre

 

 

los dos rayos señalados en la figura, la condición para interferencia constructiva resulta

$$2\,d \operatorname{sen}\theta = n\, \lambda \;,$$

donde el número natural $n\,$ se denomina orden de la reflexión. Esta condición es conocida como “ley de Bragg”, y para realizar un análisis de difracción de rayos x se realiza un barrido angular con un haz monocromático, de manera que se va cumpliendo la condición anterior para diferentes valores de $d\,$ asociados con distintas familias de planos. Vale la pena detenerse en la estructura oblicua de la figura y poner en evidencia algunas familias de planos diferentes para convencerse de la necesidad del barrido angular mencionado.

La explicación de von Laue para el fenómeno de difracción considera en cambio a cada ion de la red (ubicado en un sitio $\bm{R}$ de la red de Bravais) como un centro dispersor de la radiación incidente. Como solo se considera dispersión elástica, los vectores $\bm{k}\,$ y $\bm{k'}\,$ solo difieren en su dirección, es decir $\vert\bm{k}\vert\!=\!\vert\bm{k'}\vert\!=\!2\pi/\lambda\,$. Tomando $\bm{d}\,$ como el vector que conecta dos centros dispersores, en este caso la diferencia de camino óptico entre los dos rayos indicados en la figura es $d\,\cos\theta\!+\!d\,\cos\theta'\!=\!\bm{d}\cdot(\bm{\hat{k}}-\bm{\hat{k'}})$, de manera que la condición para interferencia constructiva resulta

 

$$\bm{d}\cdot(\bm{\hat{k}}-\bm{\hat{k'}}) = m\,\lambda \quad (m\in\mathbb{Z})\qquad \Rightarrow \qquad \bm{d}\cdot(\bm{k}-\bm{k'}) = 2\pi m \;.$$

Al tratarse de una red de Bravais, esto implica que para cualquier vector $\bm{R}\,$ de la red debe cumplirse

$$\bm{R}\cdot(\bm{k}-\bm{k'}) = 2\pi m \qquad \Longleftrightarrow \qquad e^{i(\bm{k'}-\bm{k})\cdot\bm{R}} = 1 \quad \forall\, \bm{R}\;$$de la red$$\;.$$

Como esta restricción coincide con la relación (3), la condición de Laue entonces es que el vector $\bm{K}\!=\!\bm{k'}\!-\!\bm{k}\,$ pertenezca a la red recíproca. Tomando el cuadrado de $\bm{k'}$, y recordando que $\vert\bm{k}\vert\!=\!\vert\bm{k'}\vert$ encontramos la condición equivalente $$\bm{k}\cdot\bm{\hat{K}} = \frac{1}{2}\,\vert\bm{K}\vert \;.$$

 

Puede verse que, por simetría, en esta construcción el plano que bisecta al vector $\bm{K}$ se corresponde con la familia de planos imaginados por Bragg en su explicación (ejercicio). De esta manera queda demostrada la equivalencia entre las condiciones de Bragg y de von Laue que rigen los análisis por difracción de rayos x.

Para realizar experimentos de DRX se han ideado numerosos montajes de laboratorio. Uno de los métodos más usados en la actualidad es el de cristal rotante, que utiliza un haz monocromático y realiza un barrido en los ángulos de incidencia $\theta\,$ variando la orientación de la muestra irradiada (dejando el haz incidente fijo); de este modo, para cada valor de $\theta\,$ se van encontrando diferentes familias de planos o vectores $\bm{K}$ de la red recíproca que satisfacen las condiciones de interferencia constructiva señaladas más arriba. Otro diseño experimental es el de Debye-Scherrer, y se aplica a materiales que pueden molerse, conservando su estructura en una muestra en polvo: de este modo se dispone simultáneamente de todas las orientaciones posibles para la estructura analizada, lo que equivale a rotar la muestra alrededor de todos los ejes posibles.