Construcción de las superficies de Fermi - Zonas de Brillouin

Como dijimos arriba, un potencial periódico débil distorsiona la esfera de Fermi, cuando las características del sistema impone que esta se intersecte con los planos de Bragg. Lejos de estos planos la esfera no se modifica, pero cuando se cumple la condición de Laue y analizamos estados $\bm{k}$ donde ocurre degeneración, la distorsión no se da repentinamente, sino que empieza a hacerse notoria en las proximidades de estos planos. Como mencionamos más arriba, las brechas de energía se dan de manera que en esos puntos $\nabla_{\bm{k}}\varepsilon$ es paralelo al plano de Bragg. Obviamente, las superficies de Fermi de un metal se obtienen una vez que se ha calculado correctamente la estructura de bandas para un determinado modelo. En la figura siguiente (tomada del texto de Simon) se ejemplifican algunos casos para estructuras BCC (potasio y litio) y FCC (cobre).

Está claro que para realizar la construcción descripta es necesario ubicar adecuadamente los planos de Bragg. Para ello conviene recordar que estos siempre bisectan a los vectores de la red recíproca, por lo que es posible dar como definición alternativa para la primera zona de Brillouin al conjunto de todos los $\bm{k}$ que pueden alcanzarse sin cruzar ningún plano de Bragg. Del mismo modo, la segunda zona de Brillouin es el conjunto de todos los puntos del espacio $k$ a los que puede llegarse atravesando solo un plano de Bragg. En general se define la $n$-ésima zona de Brillouin como el conjunto de puntos que pueden alcanzarse desde el origen habiendo cruzado exactamente $(n\!-\!1)$ planos de Bragg.